ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 246 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 67,5°, ∠B = 22,5°, CK — биссектриса треугольника ABC, CM — биссектриса треугольника BCK (рис. 174). Докажите, что точка M — середина отрезка AB.

Краткий ответ:

Дано:
CK — бисс ∠ACB;
CM — бисс ∠KCB;
∠C = 90°;
∠A = 67,5°;
∠B = 22,5°;

Доказать:
AM = BM;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC:
∠ACK = ∠KCB = ½∠ACB = 45°;

2) Рассмотрим треугольник CMB:
∠KCM = ½∠KCB = 22,5°;
∠MCB = ∠MBC;
ΔCMB — равнобедренный;
CM = BM;

3) Рассмотрим треугольник AMC:
∠AMC = ∠ACK + ∠KCM = 67,5°;
∠AMC = ∠CAM;
ΔAMC — равнобедренный;
AM = CM = BM;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
CK — биссектриса ∠ACB;
CM — биссектриса ∠KCB;
∠C = 90°;
∠A = 67,5°;
∠B = 22,5°;

Доказать:
AM = BM

1) Определим все углы и их свойства:

Поскольку сумма углов треугольника ABC равна 180°, и ∠C = 90°, ∠A = 67,5°, ∠B = 22,5°.
Проведём биссектрису CK из вершины C, она делит угол ∠ACB пополам, значит:
∠ACK = ∠KCB = ½∠ACB = ½ × 90° = 45°.

2) Рассмотрим треугольник BCK и биссектрису CM:

В треугольнике BCK, угол при вершине KCB равен 45°, потому что CK – биссектриса угла ACB.
Биссектриса CM делит угол KCB пополам:
∠KCM = ½ × 45° = 22,5°.
Тогда угол при вершине B в треугольнике CMB будет ∠MCB = ∠MBC (так как треугольник CMB равнобедренный по построению).
В треугольнике CMB сторона CM = BM (как в равнобедренном по двум равным углам при основании).

3) Рассмотрим треугольник AMC:

Угол AMC можно найти как сумму двух углов:
∠AMC = ∠ACK + ∠KCM = 45° + 22,5° = 67,5°.
Обратим внимание, что угол при вершине A (∠A) также равен 67,5°.
Следовательно, AMC — равнобедренный треугольник, где AM = CM.

4) Покажем, что AM = BM:

Ранее показано, что AM = CM и CM = BM (так как CM — биссектриса и CMB равнобедренный треугольник), а значит AM = BM.

5) Вывод:
Точка M — середина отрезка AB, так как AM = BM.
Доказательство завершено.

Оцени решение