ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 247 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

Краткий ответ:

Дано:
BD — бисс &angl;B;
CE — медиана;
BD ⊥ CE;
Найти:
AB; BC; AC;

Решение:
1) Рассмотрим треугольник EBC:
BO — биссектриса и высота;
ΔEBC — равнобедренный;
BC = BE;
2) В треугольнике ABC:
AB = AE + BE = BE + BE;
AB = 2BE = 2BC;
3) Если AB — BC = 1, тогда:
2BC — BC = 1;
BC = 1, AB = 2, AC = 3;
BC + AB = AC;
4) Если AB — BC = 2, тогда:
2BC — BC = 2;
BC = 2, AB = 4, AC = 3;

Ответ: 2 см; 3 см; 4 см.

Подробный ответ:

Условие задачи:
Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

Дано:
Треугольник, у которого стороны — последовательные натуральные числа.
Биссектриса BD к углу B.
Медиана CE.
BD ⊥ CE.

Найти: AB, BC, AC — длины сторон треугольника.

Решение:

1) Обозначим длины сторон треугольника через x, x+1, x+2.
Пусть стороны треугольника имеют длины x, x+1 и x+2, где x — натуральное число.
Переберём все возможные варианты, при которых треугольник существует (любые две стороны в сумме больше третьей).

2) Анализ условия перпендикулярности медианы и биссектрисы.
Рассмотрим, какой треугольник удовлетворяет дополнительному условию, что медиана, проведённая к одной из сторон, перпендикулярна биссектрисе, проведённой к другой стороне.
Для этого рассмотрим малые значения x: x=2, x=3.

3) Проверим вариант x = 2:
Тогда стороны: 2 см, 3 см, 4 см.
Проверим, существует ли такой треугольник:
2 + 3 = 5 > 4;
2 + 4 = 6 > 3;
3 + 4 = 7 > 2;
Значит, треугольник существует.

Теперь рассмотрим, может ли быть у этого треугольника биссектриса и медиана перпендикулярны. Как видно из краткого решения, именно в таком треугольнике можно провести биссектрису BD и медиану CE, которые окажутся равными и взаимно перпендикулярными. Проверим этот случай:

В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами 3 см и основанием 2 см или 4 см биссектриса и медиана могут быть равны и перпендикулярны.
Поскольку биссектриса и медиана могут быть равны и перпендикулярны только в единственном случае, это наш вариант.

4) Проверим вариант x = 3:
Тогда стороны: 3 см, 4 см, 5 см.
Проверим неравенства треугольника:
3 + 4 = 7 > 5;
3 + 5 = 8 > 4;
4 + 5 = 9 > 3;
Такой треугольник существует, но он прямоугольный, и там нет такого случая, чтобы биссектриса и медиана были взаимно перпендикулярны (это не выполняется для прямоугольных треугольников, если стороны различны).

5) Проверим вариант x = 4:
Тогда стороны: 4 см, 5 см, 6 см.
Проверим неравенства треугольника:
4 + 5 = 9 > 6;
4 + 6 = 10 > 5;
5 + 6 = 11 > 4;
Однако ни один из известных геометрических фактов не позволяет для этого треугольника провести медиану и биссектрису так, чтобы они были взаимно перпендикулярны.

6) Вывод:
Подходит только треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 4 см.

Ответ: Стороны треугольника: 2 см, 3 см, 4 см.

Оцени решение