ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 1 Номер 79 Мерзляк — Подробные Ответы

Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся углов равен 45°.

Дано:
∠BAC = 90°;
AE — бисс. ∠DAB;
AF — бисс. ∠DAC;
Доказать:
∠EAF = 45°.

Решение:

1) Рассмотрим угол BAC:
∠BAC = ∠BAE + ∠DAE + ∠DAF + ∠CAF;
∠BAC = ∠DAE + ∠DAF + ∠DAF;
∠BAC = 2∠DAE + 2∠DAF;
∠DAE + ∠DAF = ∠BAC / 2;

2) Рассмотрим угол EAF:
∠EAF = ∠DAE + ∠DAF = ∠BAC / 2 = 45°;
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим прямой угол BAC. Его величина равна 90°. Луч AE — биссектриса угла DAB, а луч AF — биссектриса угла DAC.
Тогда угол BAC равен сумме углов BAE, DAE, DAF и CAF. При этом угол BAC можно представить как сумму удвоенных углов DAE и DAF, так как биссектриса делит угол пополам.
То есть, угол BAC равен 2 умножить на угол DAE плюс 2 умножить на угол DAF.
Сумма углов DAE и DAF равна половине угла BAC, то есть 90° делёному на 2, что равно 45°.
Рассмотрим угол EAF, который равен сумме углов DAE и DAF. Следовательно, угол EAF равен 45°.
Таким образом, угол между биссектрисами равен 45°, что и требовалось доказать.