ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 260 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 186 AB = CD, BC = AD, BM — биссектриса угла ABC, DK — биссектриса угла ADC. Докажите, что ΔABM = ΔCDK.

Краткий ответ:

Дано:
AB = CD; BC = AD;
BM — бисс ∠ABC;
DK — бисс ∠ADC;
Доказать:
ΔABM = ΔCDK;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
AC — общая сторона;
ΔABC = ΔADC — по третьему признаку;
BM = KD, ∠ABM = ∠CDK;
2) Рассмотрим треугольники ABM и CDK:
ΔABM = ΔCDK — по первому признаку;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
AB = CD;
BC = AD;
BM — биссектриса угла ABC;
DK — биссектриса угла ADC;
Доказать:
∆ABM = ∆CDK.

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
— По условию AB = CD и BC = AD.
— Сторона AC общая для обоих треугольников.
— Значит, по третьему признаку равенства треугольников (три стороны):
∆ABC = ∆ADC.

2) Так как ∆ABC = ∆ADC по трем сторонам, то соответствующие элементы (углы и стороны) этих треугольников равны:
— ∠ABC = ∠ADC
— ∠BCA = ∠DCA
— ∠CAB = ∠CDA

3) Рассмотрим теперь треугольники ABM и CDK:
— В треугольнике ABC биссектриса BM делит угол B пополам.
— В треугольнике ADC биссектриса DK делит угол D пополам.
— Но ∠B = ∠D (см. пункт выше), поэтому углы при вершинах B и D, а значит и их биссектрисы, одинаковы.
— Кроме того, так как ∆ABC = ∆ADC, то AB = CD и AC = CA.

4) Докажем равенство сторон в треугольниках ABM и CDK:
— В треугольнике ABM: AB — сторона, AM — часть отрезка, а BM — биссектриса.
— В треугольнике CDK: CD — сторона, CK — часть отрезка, а DK — биссектриса.
— По равенству треугольников ABC и ADC, соответствующие отрезки, образованные биссектрисами, равны.
— BM = DK по построению (биссектрисы равных углов при равных сторонах делятся одинаково).
— AB = CD (по условию), AM = CK (как части равных сторон при равных углах).

5) Значит, в треугольниках ABM и CDK:
— AB = CD
— BM = DK
— ∠ABM = ∠CDK (так как биссектрисы делят равные углы пополам)

6) По первому признаку равенства треугольников (сторона и прилежащие к ней углы):
∆ABM = ∆CDK.

Доказано.

Оцени решение