ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 261 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что OA = OD. Докажите, что △ABC = △DCB.

Краткий ответ:

Дано:
AB = CD;
AO = OD;
Доказать:
△ABC = △DCB;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники AOC и BOD:
OC = CD – OD = AB – AO = OB;
∠AOC = ∠BOD — вертикальные;
△AOC = △BOD — по первому признаку;
AC = BD;
2) Рассмотрим треугольники ABC и DCB:
BC — общая сторона;
△ABC = △DCB — по третьему признаку;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
AB = CD;
AO = OD;
Доказать:
ΔABC = ΔDCB;

Решение:
1) Рассмотрим равные отрезки AB и CD, которые пересекаются в точке O.
2) По условию, отрезки пересекаются так, что AO = OD, то есть точка O делит оба отрезка на равные части.
3) Пусть точки A и D находятся на одном конце своих отрезков, а точки B и C — на других концах.
4) Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
5) В этих треугольниках:
— AO = OD (по условию);
— AB = CD (по условию);
— Точка O — общая вершина.
6) Отрезки AO и OD — равны, AB и CD — равны.
7) Углы AOC и BOD — вертикальные, значит равны.
8) По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), ΔAOC = ΔBOD.
9) Следовательно, OC = OB и AC = BD (так как соответствующие стороны равных треугольников равны).
10) Теперь рассмотрим треугольники ABC и DCB:
— AB = CD (по условию);
— AC = BD (доказали выше);
— BC — общая сторона.
11) Во всех трёх треугольниках совпадают по длине соответствующие стороны, то есть треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
12) Значит, ΔABC = ΔDCB.
Что и требовалось доказать.

Оцени решение