ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 262 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Отрезки BD и B₁D₁ — биссектрисы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Краткий ответ:

Дано:
AB = A₁B₁;
BD = B₁D₁;
AD = A₁D₁;
BD — бисс ∠ABC;
B₁D₁ — бисс ∠A₁B₁C₁;
Доказать:
ΔABC = ΔA₁B₁C₁;

Решение:
1) Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁:
ΔABD = ΔA₁B₁D₁ — по третьему признаку;
∠ABD = ∠A₁B₁D₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁;
2) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
∠ABC = 2∠ABD = 2∠A₁B₁D₁ = ∠A₁B₁C₁;
∠BAC = ∠B₁A₁C₁;
ΔABC = ΔA₁B₁C₁ — по второму признаку;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
AB = A₁B₁;
BD = B₁D₁;
AD = A₁D₁;
BD — биссектриса ∠ABC;
B₁D₁ — биссектриса ∠A₁B₁C₁;
Доказать:
ΔABC = ΔA₁B₁C₁;

Подробное решение:
1. Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.
— Из условия имеем:
AB = A₁B₁ (по условию),
AD = A₁D₁ (по условию),
BD = B₁D₁ (по условию).
— Значит, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
— Следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны:
∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

2. Свойства биссектрисы:
— BD — биссектриса угла ABC, значит ∠ABD = ∠DBC;
— B₁D₁ — биссектриса угла A₁B₁C₁, значит ∠A₁B₁D₁ = ∠D₁B₁C₁.

3. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
— В этих треугольниках равны по две стороны (AB = A₁B₁) и по одному прилежащему углу (∠ABC = ∠A₁B₁C₁, как удвоенные соответствующие углы из шага 1).
— Для треугольника ABC:
∠ABC = 2·∠ABD (так как BD — биссектриса);
— Аналогично, для A₁B₁C₁:
∠A₁B₁C₁ = 2·∠A₁B₁D₁.
— Так как ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, то ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
— По двум сторонам и углу между ними треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку.

4. Вывод:
ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
Доказано.

Оцени решение