ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 263 Мерзляк — Подробные Ответы

Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором AB = AC и AM = AN (рис. 187). Прав ли Коля?

1) Предположим, что верно:
AB = AC и AM = AN;

2) Проведем AD ⟂ BN, тогда:
AD — высота ΔAMN и ΔABC;

3) Треугольник ABC — равнобедренный:
AD — медиана, BD = DC;

4) Треугольник AMN — равнобедренный:
AD — медиана, MD = DN;

5) Выполняются неравенства:
MD < BD и CD < ND;
CD < BD;

6) Возникло противоречие:
AB ≠ AC или AM ≠ AN;

Ответ: нет.

1) Рассмотрим условие: пусть Коля утверждает, что удалось построить такой рисунок, на котором одновременно AB = AC и AM = AN. То есть, треугольник ABC равнобедренный по основанию BC, а точка M на стороне BC выбрана так, что AM также равна AN, где N — некоторая точка на продолжении стороны BC или на этой же прямой.

2) Проведём высоту AD из вершины A к стороне BC и аналогично высоту AD к отрезку MN (если они совпадают по построению). В равнобедренном треугольнике AB = AC, поэтому медиана, высота и биссектриса из вершины A к основанию BC совпадают.

3) В равнобедренном треугольнике ABC медиана AD делит основание пополам, то есть BD = DC. Следовательно, AD является также высотой и биссектрисой.

4) Пусть M и N выбраны так, что AM = AN. Треугольник AMN тогда тоже равнобедренный. Проведём из A медиану AD к основанию MN. В равнобедренном AMN медиана AD также будет высотой и биссектрисой, а точка D делит отрезок MN пополам: MD = DN.

5) Теперь сравним длины отрезков, на которые медиана делит основания в двух треугольниках.
Поскольку AB = AC и AM = AN, а BD = DC и MD = DN, рассмотрим относительное положение точек.
Заметим, что если AB = AC и AM = AN, то B и C должны располагаться симметрично относительно AD, а также M и N — относительно той же прямой.
Однако, если M лежит на BC, а N на продолжении или на другой части BC, то не всегда возможно соблюсти AM = AN и одновременно AB = AC из-за различия между BM и CN.

6) Проведём рассуждение через сравнение отрезков:

• Пусть MD < BD и CD < ND. Так как BD = DC (из равнобедренности), то для треугольника AMN возникает противоречие, поскольку MD = DN — медиана делит MN пополам, но при этом MD < BD, а CD < ND, что невозможно при исходных равенствах.

7) Значит, построить такой треугольник с указанными свойствами невозможно: возникло противоречие. Следовательно, либо AB ≠ AC, либо AM ≠ AN при таком построении.

Ответ: нет, Коля неправ — невозможно построить рисунок, на котором одновременно AB = AC и AM = AN.