ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 265 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Краткий ответ:

Дано:
AB = A₁B₁;
BC = B₁C₁;
AD = A₁D₁;
AD — медиана ∆ABC;
A₁D₁ — медиана ∆A₁B₁C₁;
Доказать:
∆ABC = ∆A₁B₁C₁;

Решение:
1) На прямых BD и B₁D₁ отложим отрезки:
DE = BD, D₁E₁ = B₁D₁;
2) Рассмотрим треугольники ADB и CDE:
AD = DC;
∠ADB = ∠CDE — вертикальные;
∆ADB = ∆CDE — по первому признаку;
CE = AB;
3) Аналогично для ∆A₁D₁B₁ и ∆C₁D₁E₁:
C₁E₁ = A₁B₁;
4) Рассмотрим треугольники BEC и B₁E₁C₁:
CE = AB = A₁B₁ = C₁E₁;
BE = 2BD = 2B₁D₁ = B₁E₁;
∆BEC = ∆B₁E₁C₁ — по третьему признаку;
CD = C₁D₁;
5) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
AC = 2CD = 2C₁D₁ = A₁C₁;
∆ABC = ∆A₁B₁C₁ — по третьему признаку;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
AB = A₁B₁;
BC = B₁C₁;
AD = A₁D₁;
AD — медиана ∆ABC;
A₁D₁ — медиана ∆A₁B₁C₁;
Доказать:
∆ABC = ∆A₁B₁C₁;

Решение:
Шаг 1: На прямых BD и B₁D₁ отложим отрезки:
DE = BD, D₁E₁ = B₁D₁.
В результате получаем два равных отрезка на каждой прямой, что будет полезно для дальнейшего анализа треугольников, а именно для использования свойств равенства треугольников.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники ADB и CDE:
AD = DC (по данному условию, поскольку AB = CD и BC = AD).
∠ADB = ∠CDE — вертикальные углы (вертикальные углы всегда равны).
∆ADB = ∆CDE — по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
CE = AB (по равенству соответствующих сторон).

Шаг 3: Аналогично для треугольников ∆A₁D₁B₁ и ∆C₁D₁E₁:
C₁E₁ = A₁B₁.

Шаг 4: Рассмотрим треугольники BEC и B₁E₁C₁:
CE = AB = A₁B₁ = C₁E₁.
BE = 2BD = 2B₁D₁ = B₁E₁.
∆BEC = ∆B₁E₁C₁ — по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
CD = C₁D₁.

Шаг 5: Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
AC = 2CD = 2C₁D₁ = A₁C₁.
∆ABC = ∆A₁B₁C₁ — по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
Что и требовалось доказать.

Оцени решение