ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 276 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, используя метод от противного, что если стороны AB и BC треугольника ABC не равны, то его медиана BD не является его высотой.

Краткий ответ:

1) В треугольнике ABC:

AB ≠ BC;
BD — медиана;

2) Допустим, что BD — высота:

∠BDA = ∠BDC = 90°;

3) Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

BD — общая сторона, AD = CD;
ΔABD = ΔCBD — по первому признаку;
AB = BC;

4) Возникло противоречие, значит: BD не является высотой.

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

1. Исходные данные:

Пусть Δ ABC — это произвольный треугольник, в котором AB ≠ BC, и BD — медиана, проведенная из вершины B на сторону AC.

2. Предположение:

Предположим, что медиана BD является высотой треугольника Δ ABC. Это означает, что угол ∠ BDA = 90°.

3. Рассмотрим два треугольника:

Рассмотрим два треугольника: Δ ABD и Δ CBD.

Эти треугольники имеют общую сторону BD.
Медиана по определению делит сторону AC пополам, то есть AD = DC.
Если медиана является высотой, то угол ∠ BDA = 90°.

4. Применение теоремы о прямоугольных треугольниках:

Так как ∠ BDA = 90°, то можем применить теорему Пифагора для треугольника Δ ABD. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

5. Проблема с данным предположением:

Однако, если AB ≠ BC, то сумма квадратов катетов для треугольников Δ ABD и Δ CBD не будет равна, потому что гипотенузы этих треугольников AB и BC разные. Это противоречит применению теоремы Пифагора.

6. Заключение:

Поскольку предполагаемое равенство не выполняется, то наше предположение о том, что медиана BD является высотой треугольника Δ ABC, неверно.

Ответ:
Медиана BD не является высотой треугольника Δ ABC, если его стороны AB и BC не равны.

Оцени решение