ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 2 Номер 281 Мерзляк — Подробные Ответы
Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.
Дано:
- AM = медиана ΔABC;
- A1M1 = медиана ΔA1B1C1;
- AM = A1M1;
- ∠BAM = ∠B1A1M1;
- ∠MAC = ∠M1A1C1;
Докажите:
ΔABC = ΔA1B1C1;
Решение:
1) На прямых AM и A1M1 отложим отрезки:
MD = AM, M1D1 = A1M1;
2) Рассмотрим треугольники AMC и DMB:
MC = MB = 1/2 BC;
∠AMC = ∠DMB – вертикальные;
∠AMC = ∠DMB – по первому признаку;
AC = BD, ∠MAC = ∠MDB;
3) Аналогично для ΔA1M1C1 и ΔD1M1B1:
A1C1 = B1D1, ∠M1A1C1 = ∠M1D1B1;
4) Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1:
AD = 2AM = 2A1M1 = A1D1;
∠B1D1A1 = ∠B1A1D1 = ∠BAD = ∠BDA;
∠ABD = ΔA1B1D1 – по второму признаку;
AB = A1B1, BD = B1D1;
5) Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1:
AC = BD = B1D1 = A1C1, ∠BAC = ∠B1A1C1;
ΔABC = ΔA1B1C1 – по первому признаку;
Что и требовалось доказать.
Дано:
- AM — медиана треугольника ΔABC;
- A1M1 — медиана треугольника ΔA1B1C1;
- AM = A1M1;
- ∠BAM = ∠B1A1M1;
- ∠MAC = ∠M1A1C1;
Докажите:
ΔABC = ΔA1B1C1;
Решение:
1) На прямых AM и A1M1 отложим отрезки:
По условию задачи медиана AM треугольника ΔABC равна медиане A1M1 треугольника ΔA1B1C1. Так как AM = A1M1, мы можем отложить на этих прямых отрезки, равные этим медианам:
MD = AM, M1D1 = A1M1. Это простое дополнение, которое основывается на равенстве медиан треугольников.
2) Рассмотрим треугольники AMC и DMB:
Так как MC и MB равны (MC = MB = 1/2 BC), то мы можем утверждать, что отрезки, на которые медиана разбивает основание треугольника, равны между собой.
∠AMC = ∠DMB — это вертикальные углы, а значит, они равны. Следовательно, ∠AMC = ∠DMB — по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и одной стороне).
Также, так как AC = BD (по равенству отрезков, полученных медианой), и ∠MAC = ∠MDB (так как углы между медианой и основаниями равны), можно утверждать, что треугольники AMC и DMB равны.
3) Аналогично для треугольников ΔA1M1C1 и ΔD1M1B1:
По аналогии с предыдущим шагом, мы имеем равенство сторон A1C1 = B1D1 и равенство углов ∠M1A1C1 = ∠M1D1B1. Это позволяет применить тот же самый принцип для доказательства равенства треугольников.
4) Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1:
Мы знаем, что AD = 2AM = 2A1M1 = A1D1 (так как AM и A1M1 — медианы, и они равны).
Также из условий задачи ∠B1D1A1 = ∠B1A1D1 = ∠BAD = ∠BDA, что также даёт возможность доказать равенство этих треугольников по второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу).
Поэтому ∠ABD = ΔA1B1D1 — по второму признаку равенства треугольников. А значит, AB = A1B1, BD = B1D1.
5) Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1:
Из всех предыдущих шагов мы установили равенство сторон AC = BD = A1C1 = B1D1 и равенство углов ∠BAC = ∠B1A1C1. Это позволяет заключить, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников (по трем сторонам и углам).
Что и требовалось доказать.
