ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 295 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны.

Любая прямая d, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b;

1. Через произвольную точку M, не принадлежащую прямой b, проведем прямую d, параллельную прямой b;
2. Допустим, что прямые a и b не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке O;
3. По условию, прямые a и d не пересекаются, тогда через точку O проходят две прямые, параллельные прямой d;
4. Это противоречит аксиоме параллельности прямых, следовательно прямые a и b параллельны;

Что и требовалось доказать.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямые a и b не параллельны, и покажем, что это приводит к противоречию.

Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке, которую обозначим как O.

Теперь рассмотрим произвольную прямую d, которая пересекает прямую a и, по условию задачи, также пересекает прямую b. Проведем прямую d, которая проходит через произвольную точку M, не принадлежащую прямой b, и будет параллельна прямой b. То есть, прямые d и b параллельны.

Предположим теперь, что прямые a и b действительно не параллельны, и поэтому они пересекаются в некоторой точке O. В этом случае, так как прямая d не пересекает прямую a, но проходит через точку O, мы должны заключить, что через точку O проходят две прямые, параллельные прямой d.

Однако это противоречит аксиоме о параллельности прямых, которая утверждает, что через одну точку не может пройти более одной прямой, параллельной данной прямой. Следовательно, наше предположение, что прямые a и b не параллельны, неверно.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и это доказывает, что прямые a и b действительно параллельны.

Что и требовалось доказать.