ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 312 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠A = 60°, угол BCD смежный с углом ACB, CM — биссектриса угла BCD. Докажите, что AB || CM.

Дано:

• AB = BC;
• ∠A = 60°;
• CM — биссектриса угла ∠BCD;

Решение:

1. Треугольник ABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA;
2. Углы BCA и BCD смежные: ∠BCD = 180° — ∠BCA = 180° — ∠BAC; ∠BCD = 180° — 60° = 120°;
3. Для прямых AB и CM и секущей AD: ∠MCD = ½∠BCD = 120°/2 = 60°;
4. ∠MCD = ∠BAC = ∠BAD;
5. AB || CM;
6. Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB = BC (треугольник ABC равнобедренный);
• ∠A = 60° (угол между сторонами AB и AC);
• CM — биссектриса угла ∠BCD (CM делит угол BCD пополам);

Решение:

1) Треугольник ABC равнобедренный:
Поскольку AB = BC, то треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании этого треугольника равны:

∠BAC = ∠BCA = 60°, так как угол A в треугольнике равен 60°.

2) Углы BCA и BCD смежные:
Так как ∠BCA = 60°, то угол ∠BCD можно найти как смежный угол:

∠BCD = 180° — ∠BCA = 180° — 60° = 120°. Это угол между прямыми BC и CD.

3) Для прямых AB и CM и секущей AD:
CM — биссектриса угла ∠BCD, и она делит его пополам. Поэтому угол ∠MCD равен половине угла BCD:

∠MCD = ½∠BCD = 120° / 2 = 60°.

Таким образом, угол ∠MCD = 60°.

4) Связь углов:
Так как CM — биссектриса угла BCD, то угол ∠MCD является равным углу ∠BAC, так как они обе составляют одну и ту же пару углов, образованных пересечением прямых AB и CM:

∠MCD = ∠BAC = 60°.

Следовательно, угол ∠MCD равен углу ∠BAD.

5) Докажем, что AB || CM:
Из предыдущих рассуждений мы видим, что угол ∠MCD = ∠BAD, что означает, что прямые AB и CM параллельны (по признаку параллельности прямых по равенству углов при пересечении с секущей).

Что и требовалось доказать.