ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 320 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O, являющейся серединой отрезка BM, а сторону BC — в точке K. Докажите, что если OK ⊥ BM, то MK || AB.

Краткий ответ:

Дано:
BM — биссектриса угла ABC;
BO = OM;
OK ⊥ BM.

Докажите: MK || AB.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BKO и MKO:

KO — общая сторона;
∠MOK = ∠BOK = 90°;
ΔBKO = ΔMKO — по первому признаку;
∠BKO = ∠KMO.

2) Для прямых MK и AB и секущей BM:

∠KMB = ∠KBM = ∠ABM;
MK || AB.

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
BM — биссектриса угла ABC;
BO = OM;
OK ⊥ BM — прямая OK перпендикулярна к биссектрисе BM.

Докажите: MK || AB.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BKO и MKO:
В этих треугольниках общая сторона KO, а также прямой угол: ∠MOK = ∠BOK = 90°, так как OK ⊥ BM (перпендикулярность прямой OK и отрезка BM означает, что углы, образуемые этими прямыми, прямые).

Таким образом, треугольники BKO и MKO имеют два равных угла: прямой угол и общий угол ∠BOK = ∠MOK. Это означает, что треугольники равны по первому признаку (по двум углам и прилежащей к ним стороне).

Следовательно, ΔBKO = ΔMKO.

Из равенства треугольников можно сделать вывод, что ∠BKO = ∠KMO, поскольку в равных треугольниках соответствующие углы равны.

2) Теперь рассмотрим прямые MK и AB:
Из предыдущего пункта мы знаем, что угол ∠KMO равен углу ∠BKO. Также мы знаем, что прямая BM пересекает прямую AB, а линия MK проходит через точку K, создавая углы с прямыми BM и AB.

Рассмотрим углы, образуемые секущей BM и прямыми MK и AB. Эти углы равны, поскольку они являются вертикальными углами, то есть ∠KMB = ∠KBM = ∠ABM.

Поскольку углы при секущей равны, это означает, что прямые MK и AB параллельны, то есть MK || AB.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение