ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 321 Мерзляк — Подробные Ответы

«Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC. На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF, а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM, KD = CK. Докажите, что точки B, D и F лежат на одной прямой.»

Дано: CK, AM — медианы;
CK = KD; AM = MF;
Докажите: B, D, F — лежат на одной прямой.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BKD и AKC:
∠BKD = ∠AKC — вертикальные;
ΔBKD = ΔAKC — по первому признаку;
∠BDK = ∠ACK;

2) Рассмотрим треугольники BMF и CMA:
∠BMF = ∠CMA — вертикальные;
ΔBMF = ΔCMA — по первому признаку;
∠BFM = ∠CAM;

3) Для прямых BD и AC и секущей DC:
∠BDC = ∠ACD;
BD || AC;

4) Для прямых BF и AC и секущей FA:
∠BFA = ∠CAF;
BF || AC;

5) Согласно теореме 13.2:
BF || BD;
BF и BD — одна прямая;
Что и требовалось доказать.

Дано:
CK, AM — медианы треугольника ABC;
CK = KD; AM = MF;
Докажите: точки B, D и F лежат на одной прямой.

Решение:

1) Рассмотрим треугольники BKD и AKC:
— ∠BKD = ∠AKC — вертикальные углы. Это означает, что угол между отрезками BK и KD в треугольнике BKD равен углу между отрезками AK и CK в треугольнике AKC, так как они образуются пересечением двух прямых, и следовательно, эти углы равны.
— ΔBKD = ΔAKC — по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Мы знаем, что отрезки BK и AK равны, поскольку они являются частями медиан треугольника. Кроме того, углы ∠BKD и ∠AKC равны (как показано выше). Эти два условия позволяют нам утверждать, что треугольники BKD и AKC равны по первому признаку.
— ∠BDK = ∠ACK — углы между соответствующими сторонами равных треугольников. Это следует из равенства треугольников BKD и AKC, а значит, соответствующие углы тоже равны.

2) Рассмотрим треугольники BMF и CMA:
— ∠BMF = ∠CMA — вертикальные углы. Эти углы также равны, поскольку они образуются пересечением прямых, и их величины совпадают.
— ΔBMF = ΔCMA — по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Медианы AM и CK разделяют треугольник ABC на два равных треугольника, а отрезки MF и CMA равны по условию задачи. Таким образом, треугольники BMF и CMA равны по первому признаку.
— ∠BFM = ∠CAM — углы между соответствующими сторонами равных треугольников.

3) Для прямых BD и AC и секущей DC:
— ∠BDC = ∠ACD — углы между прямыми BD и AC, пересечёнными прямой DC, равны. Это следует из равенства треугольников BFD и ACD по углу и соответствующим сторонам.
— BD || AC — прямые BD и AC параллельны, так как угол ∠BDC равен углу ∠ACD, а значит, они параллельны.

4) Для прямых BF и AC и секущей FA:
— ∠BFA = ∠CAF — углы между прямыми BF и AC, пересечёнными прямой FA, равны. Это также можно утверждать по аналогии с предыдущими шагами.
— BF || AC — прямые BF и AC параллельны, так как угол ∠BFA равен углу ∠CAF, а значит, они параллельны.

5) Согласно теореме 13.2:
— BF || BD — прямые BF и BD параллельны. Это является следствием того, что прямые BF и AC параллельны, а также что точка F лежит на продолжении медианы AM, а точка D — на продолжении медианы CK.
— BF и BD — одна прямая, так как по теореме о параллельных прямых, если две прямые параллельны третьей прямой, то они совпадают, если они пересекаются.

Вывод: Таким образом, точки B, D и F лежат на одной прямой, как и требовалось доказать.