ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 324 Мерзляк — Подробные Ответы

Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC. Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E. Докажите, что AE = EC.

Дано:
ΔABC и ΔADC – равнобедренные;
Докажите:
AE = EC.

Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный:
∠ABC = ∠BCA, AB = BC;
2) Треугольник ADC равнобедренный:
∠DAC = ∠DCA, AD = AC;
3) Рассмотрим треугольники DAB и DCB:
∠DAB = ∠DAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠DCB = ∠DAB по первому признаку;
4) Рассмотрим треугольники ABE и CBE:
∠ABE = ∠CBE;
∠ABE = ∠CBE по первому признаку;
AE = EC;
Что и требовалось доказать.

Дано:
ΔABC и ΔADC — равнобедренные треугольники с общим основанием AC.
Докажите:
AE = EC.

Решение:
1) Рассмотрим треугольник ΔABC. Поскольку он равнобедренный, то его углы при основании AC равны. То есть, ∠ABC = ∠BCA. Также стороны AB и BC равны, так как треугольник равнобедренный.
Следовательно, из условий задачи мы имеем:
∠ABC = ∠BCA, AB = BC.

2) Теперь рассмотрим треугольник ΔADC. Поскольку он тоже равнобедренный, то его углы при основании AC также равны. То есть, ∠DAC = ∠DCA. Также стороны AD и AC равны, так как треугольник равнобедренный.
Таким образом, мы получаем:
∠DAC = ∠DCA, AD = AC.

3) Теперь переходим к анализу треугольников DAB и DCB. Мы видим, что ∠DAB = ∠DAC + ∠DAC, так как угол DAB состоит из углов DAC и DCA.
По теореме о равенстве углов: ∠DAB = ∠DCA + ∠DCB. Следовательно, ∠DAB = ∠DCB по первому признаку равенства углов.

4) Теперь рассмотрим треугольники ABE и CBE, которые делятся прямой BD. Эти треугольники также являются равнобедренными, так как их углы при основании EB одинаковы.
Треугольники ABE и CBE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум равным углам и стороне). Следовательно, мы имеем: AE = EC.
Таким образом, мы доказали, что AE = EC, как и требовалось доказать.