ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 335 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AO = BO, AC || BD. Доказать, что CO = DO.

Дано:
AO = BO;
AC || BD;
Доказать:
CO = DO;

Решение:
1) Для прямых AC и BD и секущей AB:
∠CAB = ∠DBA;
2) Рассмотрим треугольники AOC и DOB:
∠AOC = ∠DOB — вертикальные;
∠CAO = ∠DBO;
∠AOC = ∠DOB — по второму признаку;
CO = DO;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AO = BO — отрезки AO и BO равны;
AC || BD — прямые AC и BD параллельны;
Доказать:
CO = DO — отрезки CO и DO равны.

Решение:
1) Так как прямые AC и BD параллельны, а отрезки AB и CD их пересекают, то углы, образующиеся между этими прямыми, будут равными. Рассмотрим угол ∠CAB и угол ∠DBA:
∠CAB = ∠DBA — это углы при пересечении двух прямых и секущей. Они равны по свойствам параллельных прямых, пересекаемых секущей. Таким образом, первый шаг решения указывает на то, что углы ∠CAB и ∠DBA равны.

2) Рассмотрим теперь треугольники AOC и DOB. Мы видим, что эти треугольники имеют общую сторону — отрезок OB (или AO, так как AO = BO).
Кроме того, углы ∠AOC и ∠DOB — вертикальные углы, то есть углы, образующиеся при пересечении двух прямых. Вертикальные углы равны, следовательно, ∠AOC = ∠DOB.

3) Углы ∠CAO и ∠DBO тоже равны. Это следует из того, что они — альтернативные углы, образующиеся при пересечении параллельных прямых AC и BD с секущей AB. По свойствам альтернативных углов для параллельных прямых, мы получаем, что ∠CAO = ∠DBO.

4) Мы имеем два равных треугольника: треугольники AOC и DOB. Они имеют равные углы (∠AOC = ∠DOB и ∠CAO = ∠DBO), а также общую сторону OB (или AO, так как AO = BO). По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол) треугольники AOC и DOB равны.

5) Так как треугольники равны, то соответствующие им стороны также равны. Следовательно, CO = DO, что и требовалось доказать.