ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 342 Мерзляк — Подробные Ответы

Прямая, проведенная через вершину A треугольника ABC параллельно его противоположной стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Дано: AD || BC;
Докажите: ΔABC — равнобедренный;

Решение:

1) Для прямых AD и BC и секущей AB:
∠CBA + ∠DAB = 180°;
∠ABC + 2∠CAB = 180°;
∠ABC = 180° — 2∠CAB;

2) Рассмотрим треугольник ABC:
∠ABC + ∠ACB + ∠CAB = 180°;
180° — 2∠CAB + ∠CAB = 180°;
180° — ∠CAB = 180°;
∠ABC = ∠CAB;

ΔABC — равнобедренный;

Дано: Прямая AD параллельна BC;
Угол ∠DAC равен углу ∠BAC.

Докажите: Треугольник ABC равнобедренный.

Решение:

1) Рассмотрим прямые AD и BC, а также секущую AB. По свойству параллельных прямых, если прямая, проходящая через вершину треугольника, параллельна одной из сторон треугольника, то углы, образуемые этой прямой с боковыми сторонами, равны. В нашем случае угол ∠DAC равен углу ∠BAC:

• ∠CBA + ∠DAB = 180° (внутренние углы на одной стороне прямой AD);
• ∠ABC + 2∠CAB = 180° (так как углы ∠DAB и ∠CAB равны);
• ∠ABC = 180° — 2∠CAB (выражаем угол ∠ABC).

2) Рассмотрим треугольник ABC, в котором сумма всех углов равна 180°:

• ∠ABC + ∠ACB + ∠CAB = 180°;
• Подставляем выражение для ∠ABC: 180° — 2∠CAB + ∠CAB = 180°;
• 180° — ∠CAB = 180°;
• ∠ABC = ∠CAB (так как угол ∠ABC равен углу ∠CAB).

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным, так как его углы ∠ABC и ∠CAB равны, а значит, и его стороны AB и AC равны.

ΔABC — равнобедренный.