ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 347 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF.

Краткий ответ:

Дано:

Треугольник ABC — равнобедренный;
BD — биссектрисы угла ABC;
ME || AB, MF || BC;

Решение:

1) Для прямых AB и ME и секущей AD:
∠BAD = ∠MED;

2) Для прямых BC и MF и секущей CD:
∠BCD = ∠MFD;

3) Треугольник ABC равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA;
BD — биссектрисы и высота;
BD ⊥ AC;

4) Рассмотрим треугольник EMF:
∠MEF = ∠BAD = ∠BCD = ∠MEF;
Треугольник EMF равнобедренный;
MD — высота и медиана;
DE = DF;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

Треугольник ABC — равнобедренный;
BD — биссектрисы угла ABC;
ME || AB, MF || BC;

Решение:

1) Шаг 1: Для прямых AB и ME и секущей AD мы имеем равные углы:
По теореме о параллельных прямых, если две прямые параллельны, то углы при пересечении секущей, образующиеся на одной стороне, равны. Таким образом,
∠BAD = ∠MED.

Объяснение: Параллельность прямых ME и AB гарантирует, что углы при пересечении их секущей AD будут равны. Это свойство является следствием теоремы о параллельных прямых и секущей.

2) Шаг 2: Для прямых BC и MF и секущей CD мы имеем равные углы:
∠BCD = ∠MFD.

Объяснение: Параллельность прямых MF и BC также приводит к равенству углов при пересечении их секущей CD. Эти углы равны согласно теореме о параллельных прямых и секущей.

3) Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABC, который равнобедренный, так как AB = BC. Мы знаем, что:

∠BAC = ∠BCA (равные углы при основании равнобедренного треугольника);
BD — биссектрисы угла ABC, следовательно, BD делит угол ABC пополам;
BD является также высотой для треугольника ABC, то есть BD перпендикулярна AC.

Объяснение: В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов, проведенные к основанию, являются также его высотами, что является основным свойством равнобедренных треугольников.

4) Шаг 4: Рассмотрим треугольник EMF. В этом треугольнике:

∠MEF = ∠BAD = ∠BCD = ∠MEF (углы при пересечении параллельных прямых);
Треугольник EMF является равнобедренным, так как ∠MEF = ∠MEF и MD — это общая высота и медиана для треугольника ABC;
Так как медиана и высота равны, то DE = DF.

Объяснение: Равенство углов и равенство медианы и высоты в треугольнике EMF приводит к равенству отрезков DE и DF. Это завершает доказательство.

Что и требовалось доказать.

Оцени решение