ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 349 Мерзляк — Подробные Ответы

На рисунке 241 AB || DE, ∠ABC = 120°, ∠CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD.

Дано:

• AB || DE;
• ∠ABC = 120°;
• ∠CDE = 150°;

Докажите:

BC ⊥ CD.

Решение:

1) Через точку C проведем прямую:
CK || AB, CK || DE;

2) Для прямых AB и CK и секущей BC:
∠ABC + ∠KCB = 180°;
120° + ∠KCB = 180°;
∠KCB = 60°;

3) Для прямых ED и CK и секущей CD:
∠EDC + ∠KCD = 180°;
150° + ∠KCD = 180°;
∠KCD = 30°;

4) Для смежного угла:
∠BCD = ∠KCB + ∠KCD = 60° + 30° = 90°;
Что и требовалось доказать.

Дано:

• AB || DE (прямые AB и DE параллельны);
• ∠ABC = 120° (угол ABC равен 120°);
• ∠CDE = 150° (угол CDE равен 150°);

Докажите:

BC ⊥ CD (необходимо доказать, что отрезок BC перпендикулярен отрезку CD).

Решение:

1) Через точку C проведем прямую, параллельную прямым AB и DE. Обозначим эту прямую как CK. Так как AB || DE, а CK параллельна AB, то по свойствам параллельных прямых CK также будет параллельна DE. Получаем:
CK || AB, CK || DE;

2) Теперь рассмотрим угол между прямыми AB и CK, а также секущую BC. Так как AB || CK, а BC является их секущей, то углы ∠ABC и ∠KCB будут дополнительными углами. По свойству дополнительных углов на одной прямой:
∠ABC + ∠KCB = 180° (углы на одной прямой дополняют друг друга);
Подставим известное значение ∠ABC = 120°:
120° + ∠KCB = 180°;
∠KCB = 180° — 120° = 60°;

3) Далее рассмотрим прямые ED и CK, а также секущую CD. Для этих прямых и секущей углы ∠EDC и ∠KCD также будут дополнительными углами. По аналогии с предыдущим шагом, получаем:
∠EDC + ∠KCD = 180°;
Подставляем значение ∠EDC = 150°:
150° + ∠KCD = 180°;
∠KCD = 180° — 150° = 30°;

4) Теперь мы знаем, что углы ∠KCB и ∠KCD — это смежные углы, так как они образуют угол ∠BCD. Поэтому их сумма будет равна 90° (смежные углы на одной прямой всегда равны 90°). Таким образом:
∠BCD = ∠KCB + ∠KCD = 60° + 30° = 90°;
Это и требовалось доказать, так как угол ∠BCD является прямым, а значит, отрезок BC перпендикулярен отрезку CD.