ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 350 Мерзляк — Подробные Ответы

Через вершину В треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM. Эта прямая пересекает прямую AC в точке K. Докажите, что треугольник ВАК равнобедренный.

Дано:

• AM — биссектриса угла ∠BAC;
• BK || AM;

Докажите: ΔBAK — равнобедренный;

Решение:

1. Для прямых AM и BK и секущей AB: ∠KBA = ∠MAB;
2. Для прямых AM и BK и секущей KC: ∠KBA = ∠CAM;
3. Рассмотрим треугольник ВАК: ∠KBA = ∠CAM = ∠MAB = ∠KBA; ΔBAK — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AM — биссектриса угла ∠BAC, то есть AM делит угол ∠BAC пополам;
• BK || AM — прямая BK параллельна биссектрисе AM;
• Точка K — точка пересечения прямой BK с прямой AC.

Докажите: Треугольник ΔBAK — равнобедренный, то есть AB = AK.

Решение:

1) Поскольку AM — биссектриса угла ∠BAC, то по свойству биссектрисы мы имеем:

• ∠BAM = ∠CAM (углы, образованные биссектрисой, равны).

2) Также, так как прямая BK параллельна прямой AM, и обе эти прямые пересекают одну и ту же прямую AC, то по теореме о пересекающихся прямых и параллельных прямых мы можем заключить, что:

• ∠KBA = ∠MAB (углы, образованные параллельными прямыми и секущей, равны).

3) Теперь, рассмотрим треугольник ΔBAK. В нем мы видим два угла, которые равны:

• ∠KBA = ∠MAB (по пункту 2);
• ∠BAM = ∠CAM (по пункту 1).

Таким образом, треугольник ΔBAK имеет два равных угла: ∠KBA и ∠CAM. Это значит, что стороны, противостоящие этим углам, должны быть равны по свойству равнобедренного треугольника. Следовательно:

• AB = AK (треугольник ΔBAK равнобедренный).

4) Таким образом, мы доказали, что треугольник ΔBAK является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.