ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 351 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC. Эта прямая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K. Докажите, что MK = AM + CK.

Краткий ответ:

Дано:

AE — биссектрис угла BAC;
CF — биссектрис угла BCA;
MK || AC;

Докажите:

MK = AM + CK;

Решение:

1) Для прямых AC и MK и секущей AE:
∠CAO = ∠MOA;

2) Для прямых AC и MK и секущей CF:
∠ACO = ∠KOC;

3) Рассмотрим треугольник AMO:
∠MOA = ∠CAO = ∠MAO;
∆AMO — равнобедренный;
AM = MO;

4) Рассмотрим треугольник CKO:
∠KOC = ∠ACO = ∠OKC;
∆CKO — равнобедренный;
CK = KO;

5) Искомый отрезок:
MK = MO + KO = AM + CK;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

AE — биссектрис угла BAC;
CF — биссектрис угла BCA;
MK || AC.

Докажите:

MK = AM + CK.

Решение:

1) Мы рассматриваем прямые AC и MK, которые параллельны. Так как AE и CF — биссектрисы углов треугольника ABC, то они пересекаются в точке O. Так как прямая MK параллельна прямой AC, это дает нам несколько важных равенств углов:

Так, из свойств параллельных прямых и углов, образующихся при пересечении с секущими, можем сказать, что:

∠CAO = ∠MOA. Эти углы равны, так как они являются углами при пересечении параллельных прямых с секущей AE;
∠ACO = ∠KOC. Эти углы равны по аналогичной причине — они образуются при пересечении параллельных прямых MK и AC с секущей CF.

2) Далее, давайте рассмотрим треугольник AMO. У нас есть два угла, которые равны: ∠MOA = ∠CAO = ∠MAO. Поскольку два угла треугольника равны, то треугольник AMO является равнобедренным, то есть его боковые стороны равны: AM = MO;

3) Теперь рассмотрим треугольник CKO. Аналогично, у нас есть два угла, которые равны: ∠KOC = ∠ACO = ∠OKC. Это также равнобедренный треугольник, и из этого следует, что CK = KO;

4) Теперь мы можем найти искомую длину отрезка MK. Для этого нужно сложить два отрезка: MO и KO. Так как мы уже доказали, что AM = MO и CK = KO, то мы можем записать следующее равенство:

MK = MO + KO = AM + CK

Это и есть то, что нам нужно было доказать.

Оцени решение