ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 352 Мерзляк — Подробные Ответы

Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC.

Дано:

• AE — биссектрисы углов BAC;
• CF — биссектрисы углов BCA;
• MO || AB;
• KO || BC;

Докажите: P_MOK = AC.

Решение:

1) Для прямых AB и MO и секущей AE:

• ∠BAO = ∠MOA;

2) Для прямых CB и KO и секущей CF:

• ∠BCO = ∠KCO;

3) Рассмотрим треугольник AMO:

• ∠MAO = ∠BAO = ∠MOA;
• ΔAMO — равнобедренный;
• AM = MO;

4) Рассмотрим треугольник CKO:

• ∠KCO = ∠BCO = ∠KCO;
• ΔCKO — равнобедренный;
• CK = KO;

5) Искомый периметр:

• P_MOK = MO + MK + KO;
• P_MOK = AM + MK + KC = AC;

Что и требовалось доказать.

Дано:

• AE — биссектрисы углов BAC;
• CF — биссектрисы углов BCA;
• MO || AB;
• KO || BC;

Докажите: P_MOK = AC.

Решение:

1) Для прямых AB и MO и секущей AE:

• Биссектрисы углов пересекаются в точке O, что значит, что угол BAO равен углу MOA, то есть ∠BAO = ∠MOA.
• Так как AE является биссектрисой угла, то мы можем утверждать, что угол BAO равен углу MOA по свойству биссектрисы. Таким образом, ΔAMO является равнобедренным треугольником, и его боковые стороны равны: AM = MO.

2) Для прямых CB и KO и секущей CF:

• Аналогично, углы BCO и KCO равны по причине того, что CF — это биссектрисы угла BCA. Это даёт нам равенство углов ∠BCO = ∠KCO.
• Следовательно, треугольник CKO также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: CK = KO.

3) Рассмотрим треугольник AMO:

• Мы знаем, что ∠BAO = ∠MOA, то есть углы при вершине A равны.
• Таким образом, треугольник AMO является равнобедренным, и его стороны AM и MO</span» равны.

4) Рассмотрим треугольник CKO:

• Аналогично треугольнику AMO, треугольник CKO является равнобедренным, так как углы ∠KCO = ∠BCO равны.
• Следовательно, его боковые стороны равны:

• Теперь, вычислим периметр треугольника MOK:
• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: P_MOK = MO + MK + KO;
• Мы знаем, что MO = AM и KO = CK, так что периметр можно выразить как: P_MOK = AM + MK + CK;
• Кроме того, по свойству параллельных прямых и пересечений их с секущими, MK = AC. Поэтому периметр треугольника MOK равен длине стороны AC: P_MOK = AC;

Что и требовалось доказать.