ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 367 Мерзляк — Подробные Ответы

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен:

1) 42°;
2) 94°. Сколько решений имеет задача?

1) 42°;
Если дан угол при основании:
∠A = ∠B = 42°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
42° + 42° + ∠C = 180°;
∠C = 96°;
Если дан угол при вершине:
∠A = ∠B = 42°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
42° + 42° + ∠C = 180°;
2∠A = 138°;
∠A = 69°;
Ответ: 42°, 42°, 96° или 69°, 69°, 42°.

2) 94°;
Если дан угол при основании:
∠A = ∠B = 94°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
94° + 94° + ∠C = 180°;
∠C = -8°;
Если дан угол при вершине:
∠A = ∠B = 94°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + ∠A + 94° = 180°;
2∠A = 86°;
∠A = 43°;
Ответ: 43°, 43°, 94°.

1) 42°;
Задача: найти углы равнобедренного треугольника, если один из углов при основании равен 42°.

Если дан угол при основании:

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике углы при основании одинаковы. Пусть угол при основании равен 42°:

∠A = ∠B = 42°.

Сумма всех углов треугольника равна 180°. Мы можем записать следующее равенство для суммы углов:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Подставляем известные значения:

42° + 42° + ∠C = 180°.

Теперь решаем для ∠C:

42° + 42° = 84°,
∠C = 180° — 84° = 96°.

Ответ: ∠A = 42°, ∠B = 42°, ∠C = 96°.

Если дан угол при вершине:

Если вместо углов при основании нам дан угол при вершине, то угол при вершине равен ∠C. Пусть угол при вершине равен 42°:

∠A = ∠B = 42°.

Снова используем сумму углов треугольника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Подставляем значения:

∠A + ∠A + 42° = 180°.

Теперь решаем для ∠A:

2∠A + 42° = 180°,
2∠A = 180° — 42° = 138°,
∠A = 138° / 2 = 69°.

Ответ: ∠A = 69°, ∠B = 69°, ∠C = 42°.

Таким образом, для угла 42° при вершине мы получаем два возможных набора углов:
1. 42°, 42°, 96° (если угол при основании);
2. 69°, 69°, 42° (если угол при вершине).

2) 94°;
Задача: найти углы равнобедренного треугольника, если один из углов при основании равен 94°.

Если дан угол при основании:

Мы знаем, что углы при основании равны. Пусть угол при основании равен 94°:

∠A = ∠B = 94°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Подставляем известные значения:

94° + 94° + ∠C = 180°.

Теперь решаем для ∠C:

94° + 94° = 188°,
∠C = 180° — 188° = -8°.

Такого значения угла быть не может, так как угол не может быть отрицательным. Следовательно, это решение невозможно.

Если дан угол при вершине:

Если угол при вершине равен 94°:

∠A = ∠B = 94°.

Сумма углов треугольника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Подставляем значения:

∠A + ∠A + 94° = 180°.

Теперь решаем для ∠A:

2∠A + 94° = 180°,
2∠A = 180° — 94° = 86°,
∠A = 86° / 2 = 43°.

Ответ: ∠A = 43°, ∠B = 43°, ∠C = 94°.

Таким образом, для угла 94° при основании мы не получаем решения, так как угол при основании не может быть больше 90°, а для угла при вершине мы получаем единственное решение:
1. 43°, 43°, 94° (если угол при вершине).

Итак, количество решений задачи для каждого случая:
— Для 42° — два возможных решения.
— Для 94° — одно решение.