ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 372 Мерзляк — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике ABC с углом при вершине B, равным 36°, провели биссектрису AD. Докажите, что треугольники ADB и CAD равнобедренные.

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AD — биссектрису ∠BAC;
∠ABC = 36°;

Докажите:
ΔADB и ΔCAD — равнобедренные;

Решение:

1) ΔABC равнобедренный:
∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠A = ∠C;
∠A + 36° + ∠A = 180°;
2∠A = 144°;
∠C = ∠A = 72°;

2) В треугольнике ABD:
∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠A = 36°;
∠BAD = ∠ABD;

3) В треугольнике CAD:
∠CAD + ∠ADC + ∠DCA = 180°;
36° + ∠ADC + 72° = 180°;
∠ADC = 72°;
∠ADC = ∠DCA;

Что и требовалось доказать.

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AD — биссектрису ∠BAC;
∠ABC = 36°;

Докажите:
ΔADB и ΔCAD — равнобедренные;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при его основании равны: ∠A = ∠C.
Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставим данные из условия задачи: ∠A + 36° + ∠A = 180°.
Упростим выражение:
2∠A = 144°.
Разделим обе части уравнения на 2: ∠A = 72°.
Таким образом, ∠C = ∠A = 72°.

2) Теперь рассмотрим треугольник ABD:
В треугольнике ABD проведена биссектрису ∠BAC, то есть угол ∠BAD равен углу ∠CAD.
Поскольку ∠A = 72°, то ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠A = 36°.
Следовательно, угол ∠BAD равен углу ∠ABD. Это доказывает, что треугольник ABD равнобедренный.

3) Теперь рассмотрим треугольник CAD:
В треугольнике CAD сумма углов также равна 180°:
∠CAD + ∠ADC + ∠DCA = 180°.
Мы знаем, что ∠CAD = 36° и ∠DCA = 72°. Подставим эти значения в уравнение:
36° + ∠ADC + 72° = 180°.
Упростим выражение:
∠ADC + 108° = 180°.
Отнимем 108° от обеих частей: ∠ADC = 72°.
Таким образом, ∠ADC = ∠DCA, что также доказывает, что треугольник CAD равнобедренный.

Заключение: Мы доказали, что треугольники ABD и CAD являются равнобедренными, так как в обоих треугольниках два угла равны. Что и требовалось доказать.