ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 378 Мерзляк — Подробные Ответы

Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с ним угла треугольника? В случае утвердительного ответа укажите вид треугольника.

Пусть ∠a, ∠b, ∠c — углы треугольника, ∠d — внешний при вершине ∠a, тогда: ∠d < ∠a;

1) Если ∠d < 90°, тогда:

• ∠a + ∠d = 180°;
• ∠a = 180° — ∠d;
• ∠a > 90° > ∠d;

2) Если ∠d > 90°, тогда:

• ∠a + ∠d = 180°;
• ∠a = 180° — ∠d;
• ∠a < 90° < ∠d;

Ответ: тупоугольный.

Для ответа на данный вопрос воспользуемся свойствами внешнего угла при вершине треугольника. Пусть у нас есть треугольник, в котором углы ∠a, ∠b, ∠c являются внутренними углами, а ∠d — внешний угол при вершине ∠a.

Внешний угол треугольника равен разности между 180° и смежным с ним углом. Таким образом, для угла ∠a внешнему углу ∠d выполнено следующее условие:

∠d = 180° — ∠a;

Теперь рассмотрим два случая:

1) Если внешний угол ∠d меньше 90°:

Когда внешний угол ∠d меньше 90°, это означает, что смежный с ним угол ∠a больше 90°. В этом случае:

• ∠a + ∠d = 180°; — это уравнение для смежных углов.
• ∠a = 180° — ∠d; — выражаем угол ∠a через внешний угол ∠d.
• ∠a > 90° > ∠d; — из этого следует, что угол ∠a больше 90°.

Таким образом, если внешний угол ∠d меньше 90°, то внутренний угол ∠a больше 90°, и треугольник является тупоугольным.

2) Если внешний угол ∠d больше 90°:

Если внешний угол ∠d больше 90°, то это означает, что угол ∠a меньше 90°. В этом случае:

• ∠a + ∠d = 180°; — уравнение для смежных углов остается тем же.
• ∠a = 180° — ∠d; — выражаем угол ∠a через внешний угол ∠d.
• ∠a < 90° < ∠d; — из этого следует, что угол ∠a меньше 90°.

Таким образом, если внешний угол ∠d больше 90°, то внутренний угол ∠a меньше 90°, и треугольник будет остроугольным.

Ответ: Треугольник будет тупоугольным, если внешний угол ∠d меньше 90° и смежный с ним угол ∠a больше 90°.