ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 388 Мерзляк — Подробные Ответы

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен: 1) 54°; 2) 112°. Сколько решений имеет задача?

1) 54°;

Если дан угол при основании:

• ∠a + ∠d = 180°; ∠d = 54°;
• ∠a + 54° = 180°;
• ∠a = 126°;
• ∠a + ∠b + ∠c = 180°; ∠a = ∠b;
• 126° + 126° + ∠c = 180°; ∠c = -72°;

Если дан угол при вершине:

• ∠c + ∠d = 180°; ∠d = 54°;
• ∠c + 54° = 180°;
• ∠c = 126°;
• ∠a + ∠b + ∠c = 180°; ∠a = ∠b;
• ∠a + ∠a + 126° = 180°; ∠a = 54°;
• ∠a = 27°;

Ответ: 27°, 27°, 126°.

2) 112°;

Если дан угол при основании:

• ∠a + ∠d = 180°; ∠d = 112°;
• ∠a + 112° = 180°;
• ∠a = 68°;
• ∠a + ∠b + ∠c = 180°; ∠a = ∠b;
• 68° + 68° + ∠c = 180°; ∠c = 44°;

Если дан угол при вершине:

• ∠c + ∠d = 180°; ∠d = 112°;
• ∠c + 112° = 180°;
• ∠c = 68°;
• ∠a + ∠b + ∠c = 180°; ∠a = ∠b;
• ∠a + ∠a + 68° = 180°;
• ∠a = 56°;

Ответ: 68°, 68°, 44° или 56°, 56°, 68°.

1) 54°;

Если дан угол при основании:

• Из условия задачи мы знаем, что один из внешних углов равен 54°. Пусть это будет угол при основании, обозначим его как ∠d = 54°.
• Так как внешний угол при основании равен 180° минус угол при вершине, то мы можем записать уравнение:∠a + ∠d = 180°;
  ∠a + 54° = 180°;
  ∠a = 180° — 54° = 126°;
• Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно, угол ∠a = ∠b.
• Из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, мы получаем:∠a + ∠b + ∠c = 180°;
  126° + 126° + ∠c = 180°;
  ∠c = 180° — 252° = -72°.

  Так как угол не может быть отрицательным, это решение невозможно.

Если дан угол при вершине:

• Теперь рассмотрим ситуацию, когда данный угол равен внешнему углу при вершине. Угол при вершине можно обозначить как ∠c = 54°.
• Мы знаем, что сумма внешнего и внутреннего углов при вершине равна 180°, поэтому:∠c + ∠d = 180°;
  54° + ∠d = 180°;
  ∠d = 180° — 54° = 126°;
• Теперь вычислим углы основания. Углы при основании равны, поэтому:∠a = ∠b = 54°;
• Так как сумма углов треугольника должна быть 180°, проверим:∠a + ∠b + ∠c = 180°;
  54° + 54° + 54° = 162°;

  Так как сумма углов не дает 180°, это решение также невозможно.

Ответ для пункта 1: Задача не имеет решений в этом случае.

2) 112°;

Если дан угол при основании:

• Пусть угол при основании равен 112°. Обозначим его как ∠d = 112°.
• Тогда угол при вершине можно найти, используя уравнение внешнего угла:∠a + ∠d = 180°;
  ∠a + 112° = 180°;
  ∠a = 180° — 112° = 68°;
• Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны, следовательно, ∠a = ∠b = 68°.
• Проверим сумму углов:∠a + ∠b + ∠c = 180°;
  68° + 68° + ∠c = 180°;
  ∠c = 180° — 136° = 44°;

Если дан угол при вершине:

• Теперь рассмотрим угол при вершине, который равен 112°. Обозначим его как ∠c = 112°.
• Опять же, внешний угол и внутренний угол при вершине суммируются до 180°:∠c + ∠d = 180°;
  112° + ∠d = 180°;
  ∠d = 180° — 112° = 68°;
• Теперь, так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то угол при основании ∠a = ∠b = 68°.
• Проверим, что сумма углов равна 180°:∠a + ∠b + ∠c = 180°;
  68° + 68° + 44° = 180°;

Ответ для пункта 2: 68°, 68°, 44° или 56°, 56°, 68°.