ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 393 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Биссектрисы углов при основании AC равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что угол AOC равен внешнему углу треугольника ABC при вершине A.

Краткий ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AE — биссектриса ∠BAC;
CF — биссектриса ∠BCA;

Докажите:
∠AOC = ∠DAB;

Решение:

1) ΔABC — равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA = 1/2 ∠ABC;
AOC + LOCA = ∠BAC;

2) Сумма смежных углов:
∠DAB + ∠BAC = 180°
∠DAB = 180° — ∠BAC;

3) В треугольнике AOC:
∠AOC + LOCA = 180°
∠BAC = 180° — ∠DAB;

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AE — биссектриса угла ∠BAC;;
CF — биссектриса угла ∠BCA;;

Докажите:
∠AOC = ∠DAB; (внешний угол треугольника ABC при вершине A).

Решение:

1) ΔABC — равнобедренный:
Поскольку треугольник ΔABC равнобедренный, то углы при основании равны:

∠BAC = ∠BCA;

Эти углы равны между собой и составляют половину угла при вершине B:

∠BAC = ∠BCA = ∠ABC / 2;

Таким образом, угол AOC и угол LOCA составляют угол ∠ABC, и их сумма:

AOC + LOCA = ∠ABC;

2) Сумма смежных углов:
Углы ∠DAB и ∠BAC являются смежными, так как лежат на одной прямой. Согласно теореме о смежных углах, их сумма составляет 180°:

∠DAB + ∠BAC = 180°;

Следовательно, угол ∠DAB можно выразить через угол ∠BAC:

∠DAB = 180° — ∠BAC;

3) В треугольнике AOC:
В треугольнике AOC сумма углов всегда равна 180°, поэтому:

∠AOC + ∠LOCA = 180°;

Подставим значение угла ∠LOCA, которое мы нашли ранее:

∠LOCA = 180° — ∠BAC;

Получаем, что:

∠AOC = 180° — ∠DAB;

Из этого следует, что угол AOC равен внешнему углу при вершине A:

∠AOC = ∠DAB;

Что и требовалось доказать.

Оцени решение