ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 397 Мерзляк — Подробные Ответы

На сторонах треугольника ABC (рис. 253) отметили точки E и F так, что ∠1 = ∠2. Докажите, что ∠3 = ∠4.

Дано: ∠BAC = ∠BFE;

Докажите: ∠BCA = ∠BEF;

Решение:

1) В треугольнике ABC:

• ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°;
• ∠ABC + ∠BAC = 180° – ∠BCA;

2) В треугольнике EBF:

• ∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180°;
• ∠ABC + ∠BFE = 180° – ∠BEF;
• 180° – ∠BCA = 180° – ∠BEF;
• ∠BCA = ∠BEF;

Что и требовалось доказать.

Дано: ∠BAC = ∠BFE;

Докажите: ∠BCA = ∠BEF;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC:

• Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника ABC это можно записать так:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°;

• Так как нам известно, что ∠BAC = ∠BFE (по условию задачи), мы можем подставить это значение и преобразовать уравнение:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°;

∠ABC + ∠BAC = 180° — ∠BCA;

Таким образом, мы выразили ∠ABC + ∠BAC через ∠BCA.

2) Теперь рассмотрим треугольник EBF:

• Сумма углов в треугольнике EBF также равна 180°. Это можно записать так:

∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180°;

• Из предыдущего пункта мы знаем, что ∠BFE = ∠BAC, следовательно, ∠BFE = ∠BAC. Теперь подставим это значение:

∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180°;

∠EBF + ∠BEF + ∠BAC = 180°;

• Заменим ∠BAC на ∠ABC (так как мы доказали, что ∠BAC = ∠BFE):

∠EBF + ∠BEF + ∠BFE = 180°;

∠EBF + ∠BEF = 180° — ∠BFE;

• Теперь выразим ∠BFE через ∠ABC. Мы знаем, что:

180° — ∠BCA = 180° — ∠BEF;

• Таким образом, мы получаем, что ∠BCA = ∠BEF, что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.