ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 399 Мерзляк — Подробные Ответы

Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе AM треугольника и пересекающая прямую AB в точке K. Найдите углы треугольника АКС, если ∠BAC = 70°.

Дано:
AM — биссектриса ∠BAC;
CK ∥ AM;
∠BAC = 70°.

Найти:
∠АКС;
∠КАС;
∠КСА.

Решение:

1) Для прямых AM и KC и секущей AC:
∠АКС = ∠CAM = 1/2 ∠BAC = 70° / 2 = 35°;

2) Сумма смежных углов:
∠КАС + ∠BAC = 180°;
∠КАС + 70° = 180°;
∠КАС = 110°;

3) В треугольнике АКС:
∠АКС + ∠КАС + ∠КСА = 180°;
35° + 110° + ∠КСА = 180°;
∠КСА = 35°.

Ответ:
∠АКС = 35°;
∠КАС = 35°;
∠КСА = 110°.

Дано:
AM — биссектриса ∠BAC; (по определению, биссектриса — это прямая, которая делит угол пополам)
CK ∥ AM; (прямая CK параллельна биссектрисе AM)
∠BAC = 70°.

Найти:
∠АКС; (угол между прямыми АК и СК)
∠КАС; (угол при вершине К треугольника АКС)
∠КСА; (угол при вершине С треугольника АКС)

Решение:

1) Для прямых AM и KC, а также секущей AC:
Биссектрисы углов в треугольнике имеют важное свойство: если одна из сторон угла делится на две части равными углами, то угол между прямыми, пересекающими эту биссектрису, равен половине угла, который она делит. В нашем случае это касается угла ∠BAC. Мы можем записать:
∠АКС = ∠CAM = (1/2) * ∠BAC = (1/2) * 70° = 35°;
Таким образом, угол ∠АКС равен 35°.

2) Сумма смежных углов:
Сумма углов на одной прямой всегда равна 180°. Рассмотрим прямую AC и углы, которые образуют прямые АК и СК на этой прямой.
∠КАС + ∠BAC = 180°
Подставим значение угла ∠BAC, которое нам дано:
∠КАС + 70° = 180°
∠КАС = 180° — 70° = 110°;
Таким образом, угол ∠КАС равен 110°.

3) В треугольнике АКС:
В треугольнике сумма углов всегда равна 180°. Теперь можем найти угол ∠КСА. Мы знаем два угла в этом треугольнике: ∠АКС и ∠КАС. Подставляем их в формулу для суммы углов в треугольнике:
∠АКС + ∠КАС + ∠КСА = 180°
Подставляем найденные значения углов:
35° + 110° + ∠КСА = 180°
145° + ∠КСА = 180°
∠КСА = 180° — 145° = 35°;
Таким образом, угол ∠КСА равен 35°.

Ответ:
∠АКС = 35°;
∠КАС = 35°;
∠КСА = 110°.