ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 400 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Найдите угол AOC, если ∠B = 100°.

Краткий ответ:

Дано:
AE – биссектриса угла ∠BAC;
CF – биссектриса угла ∠BCA;
∠B = 100°;

Найти:
∠AOC;

Решение:

1) В треугольнике ABC:
∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°;
100° + ∠BAC + ∠BCA = 180°;
∠BAC + ∠BCA = 80°;

2) В треугольнике AOC:
∠AOC + ∠ACO + ∠OCA = 180°;
∠AOC + 1/2 ∠BAC + 1/2 ∠BCA = 180°;
2∠AOC + ∠BAC + ∠BCA = 360°;
2∠AOC + 80° = 360°;
2∠AOC = 280°;
∠AOC = 140°.

Ответ: 140°.

Подробный ответ:

Дано:
AE — биссектриса угла ∠BAC;
CF — биссектриса угла ∠BCA;
∠B = 100°.

Найти: угол ∠AOC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABC. Из теоремы о сумме углов треугольника имеем:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.

Подставляем известное значение угла ∠B = 100°:

100° + ∠BAC + ∠BCA = 180°.

Таким образом, сумма углов ∠BAC и ∠BCA равна:

∠BAC + ∠BCA = 180° — 100° = 80°.

2) Теперь рассмотрим треугольник AOC, в котором точка O — это точка пересечения биссектрис углов A и C. С помощью свойства биссектрисы, мы знаем, что биссектрисы делят углы пополам:

∠BAC = 2 * ∠BAO и ∠BCA = 2 * ∠BCAO.

Так как ∠AOC — это угол, образованный биссектрисами углов A и C, то его можно выразить через углы, образующиеся от деления углов ∠A и ∠C. Таким образом:

∠AOC = 180° — (∠BAO + ∠BCAO).

Теперь, так как угол ∠BAO = 1/2 ∠BAC и угол ∠BCAO = 1/2 ∠BCA, то угол AOC можно выразить так:

∠AOC = 180° — (1/2 ∠BAC + 1/2 ∠BCA).

Заменяем ∠BAC + ∠BCA = 80°:

∠AOC = 180° — (1/2 * 80°) = 180° — 40° = 140°.

Ответ: угол ∠AOC = 140°.

Оцени решение