ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 402 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то этот треугольник равнобедренный.

Дано:
BE — биссектриса угла ∠CBD;
BE || AC;

Докажите:
треуг. ABC — равнобедренный;

Решение:
1) Для прямых AC и BE и секущей AD:
∠DBE = ∠BAC;
2) Для прямых AC и BE и секущей BC:
∠ACB = ∠EBC;
3) Рассмотрим треугольник ABC:
∠BAC = ∠DBE = ∠EBC = ∠ACB;
треуг. ABC — равнобедренный;
Что и требовалось доказать.

Дано:
BE — биссектриса угла ∠CBD;
BE || AC;

Докажите:
треуг. ABC — равнобедренный;

Решение:

1) Для прямых AC и BE и секущей AD:
По условию, биссектриса BE внешнего угла ∠CBD параллельна стороне AC. Рассмотрим треугольник, где BE — биссектриса, а AD — секущая. Из теоремы о биссектрисе внешнего угла, мы знаем, что угол ∠DBE равен углу ∠BAC, так как биссектриса делит внешний угол пополам. Таким образом, можно записать:
∠DBE = ∠BAC;

2) Для прямых AC и BE и секущей BC:
Аналогично, используя прямые AC и BE и секущую BC, мы видим, что углы ∠ACB и ∠EBC равны. Это следует из того, что биссектрисы углов треугольника и их внешние углы равны, так как параллельность BE и AC сохраняет равенство углов. Таким образом, получаем:
∠ACB = ∠EBC;

3) Рассмотрим треугольник ABC:
Теперь у нас есть два равных угла: ∠BAC и ∠DBE, а также ∠ACB и ∠EBC. Из свойств углов в треугольнике, а именно, что если два угла равны, то противоположные стороны треугольника также равны, можно заключить, что треугольник ABC — равнобедренный. В частности, мы можем сказать, что стороны AB и AC равны. Таким образом, получаем:
∠BAC = ∠DBE = ∠EBC = ∠ACB;
Это и доказывает, что ABC — равнобедренный треугольник.

Что и требовалось доказать.