ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 403 Мерзляк — Подробные Ответы
Угол при основании AC равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угла при вершине, AM — биссектриса треугольника. Докажите, что BM = AC.
Дано:
∆ABC — равнобедренный;
AM — биссектриса ∠BAC;
∠BCA = 2∠ABC;
Докажите:
BM = AC;
Решение:
1) ∆ABC — равнобедренный:
∠BCA = ∠ABC = 2∠ABC;
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°;
2∠ABC + ∠ABC + 2∠ABC = 180°;
5∠ABC = 180°;
∠ABC = 36°;
∠BAC = 2 * 36° = 72°;
2) Рассмотрим треугольник AMC:
∠MAC = 1/2 ∠BAC = 36°;
∠MAC + ∠AMC + ∠MCA = 180°;
36° + ∠AMC + 72° = 180°;
∠AMC = 72°;
∠AMC = ∠MCA;
∆AMC — равнобедренный;
AC = AM;
3) Рассмотрим треугольник ABM:
∠BAM = 1/2 ∠BAC = 36°;
∠BAM = ∠ABM;
∆ABM — равнобедренный;
AB = AM = AC;
Что и требовалось доказать.
Дано:
∆ABC — равнобедренный;
AM — биссектриса ∠BAC;
∠BCA = 2∠ABC;
Докажите:
BM = AC;
Решение:
1) ∆ABC — равнобедренный:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то его основание BC равно сторонам AB и AC. Также по условию задачи угол ∠BCA в 2 раза больше угла ∠ABC. Это значит, что:
∠BCA = 2∠ABC.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то можем записать следующее уравнение для суммы углов треугольника ∆ABC:
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
Подставим сюда выражение для ∠BCA:
∠BAC + ∠ABC + 2∠ABC = 180°.
Таким образом, у нас получится следующее уравнение:
∠BAC + 3∠ABC = 180°.
Теперь выразим угол ∠ABC:
3∠ABC = 180° — ∠BAC.
Так как угол ∠BAC — это угол при вершине, то он может быть найден как 2 угла при основании, следовательно, ∠BAC = 2∠ABC. Подставляем это в уравнение:
3∠ABC = 180° — 2∠ABC.
Теперь решаем это уравнение:
5∠ABC = 180°,
∠ABC = 180° / 5 = 36°.
Таким образом, угол ∠ABC равен 36°.
Теперь можем найти угол ∠BAC:
∠BAC = 2 * 36° = 72°.
Теперь мы знаем все углы в треугольнике ∆ABC:
∠ABC = 36°, ∠BAC = 72°, ∠BCA = 72°.
2) Рассмотрим треугольник AMC:
Теперь перейдем к рассмотрению треугольника AMC, где AM — биссектриса угла ∠BAC. Так как AM — биссектриса, то угол ∠MAC равен половине угла ∠BAC. То есть:
∠MAC = 1/2 ∠BAC = 1/2 * 72° = 36°.
Теперь в треугольнике AMC сумма углов также равна 180°, и мы можем записать следующее уравнение для углов треугольника AMC:
∠MAC + ∠AMC + ∠MCA = 180°.
Подставим сюда известные значения углов:
36° + ∠AMC + 72° = 180°.
Теперь решим это уравнение для ∠AMC:
∠AMC = 180° — 36° — 72° = 72°.
Таким образом, мы получаем, что ∠AMC = 72°.
Кроме того, так как ∠AMC = ∠MCA, то треугольник AMC является равнобедренным, и мы можем заключить, что AC = AM.
3) Рассмотрим треугольник ABM:
Теперь рассмотрим треугольник ABM, в котором AM — биссектриса угла ∠BAC. Так как AM — биссектриса, угол ∠BAM равен половине угла ∠BAC, то есть:
∠BAM = 1/2 ∠BAC = 1/2 * 72° = 36°.
Поскольку треугольник ABM — это равнобедренный треугольник (так как ∠BAM = ∠ABM), то его стороны AB и BM равны. Мы также знаем, что AB = AM, следовательно, BM = AM.
Так как AM = AC, то BM = AC.
Что и требовалось доказать.
