ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 404 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На стороне BC отметили точку M так, что BM = AM = AC. Найдите углы треугольника ABC.

Краткий ответ:

Дано:
∆ABC — равнобедренный;
BM = AM = AC;

Найти:
∠A; ∠B; ∠C;

Решение:

1) ∆ABC — равнобедренный:
BM = AM = AC;
∠BAC = ∠BCA;

2) Рассмотрим треугольник ABM:
BM = AM;
∆ABM — равнобедренный;
∠BAM = ∠BAM;

3) Рассмотрим треугольник AMC:
AM = MC;
∆AMC — равнобедренный;
∠AMC = ∠MCA;
∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180°;
∠MCA + ∠MAC + ∠MCA = 180°;
2∠MCA + ∠MAC = 180°;
2∠MCA = 180° — ∠MAC;
∠MCA = 72°;

4) В треугольнике ABC:
∠BAC = ∠BAM + ∠MAC;
∠BAC = ∠BAM + 180° — 2∠MCA;
∠A = ∠B + 180° — 2∠A;
∠B = 3∠A — 180°;
5∠A = 360°;
∠A = 72°;
∠B = 36°;
∠C = 72°;

Ответ:
∠A = 72°; ∠B = 36°; ∠C = 72°.

Подробный ответ:

Дано:
∆ABC — равнобедренный;
BM = AM = AC;

Найти:
∠A; ∠B; ∠C;

Решение:

1) ∆ABC — равнобедренный:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то его основание BC равно сторонам AB и AC. Также по условию задачи, отрезки BM, AM и AC равны, то есть:
BM = AM = AC.
Это означает, что отрезки BM и AM равны, и треугольник ABM — равнобедренный. Поэтому углы ∠BAM и ∠ABM равны, то есть:
∠BAM = ∠ABM.
Так как треугольник ∆ABC равнобедренный, то углы при основании равны:
∠BAC = ∠BCA.

2) Рассмотрим треугольник ABM:
Так как BM = AM, то треугольник ABM является равнобедренным. Следовательно, углы при основании в этом треугольнике равны:
∠BAM = ∠ABM.
Таким образом, угол ∠BAM равен углу ∠ABM, что позволит нам найти углы треугольника ABM.

3) Рассмотрим треугольник AMC:
Так как AM = MC, то треугольник AMC также является равнобедренным. Следовательно, углы при основании в этом треугольнике равны:
∠AMC = ∠MCA.
Теперь, зная, что сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, мы можем записать следующее уравнение для треугольника AMC:
∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180°.
Поскольку углы ∠AMC и ∠MCA равны, подставим это в уравнение:
∠MCA + ∠MAC + ∠MCA = 180°.
Теперь получаем:
2∠MCA + ∠MAC = 180°.
Заменим ∠MAC на угол ∠A, так как угол ∠A является углом при вершине A в треугольнике ABC:
2∠MCA + ∠A = 180°.
Так как ∠MCA = ∠A, то у нас получается уравнение:
2∠A + ∠A = 180°.
3∠A = 180°.
∠A = 60°.
Таким образом, угол ∠A равен 60°.

4) В треугольнике ABC:
Теперь, зная угол ∠A, мы можем найти углы ∠B и ∠C. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы ∠B и ∠C равны. Обозначим угол ∠B = ∠C. Из формулы для суммы углов треугольника (сумма углов равна 180°) имеем:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Подставим значение угла ∠A, равное 60°:
60° + ∠B + ∠C = 180°.
Так как ∠B = ∠C, то у нас получается:
60° + 2∠B = 180°.
2∠B = 180° — 60° = 120°.
∠B = 120° / 2 = 60°.
Таким образом, угол ∠B равен 60° и угол ∠C также равен 60°.

Ответ:
∠A = 60°; ∠B = 60°; ∠C = 60°.

Оцени решение