ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 404 Мерзляк — Подробные Ответы

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На стороне BC отметили точку M так, что BM = AM = AC. Найдите углы треугольника ABC.

Дано:
∆ABC — равнобедренный;
BM = AM = AC;

Найти:
∠A; ∠B; ∠C;

Решение:

1) ∆ABC — равнобедренный:
BM = AM = AC;
∠BAC = ∠BCA;

2) Рассмотрим треугольник ABM:
BM = AM;
∆ABM — равнобедренный;
∠BAM = ∠BAM;

3) Рассмотрим треугольник AMC:
AM = MC;
∆AMC — равнобедренный;
∠AMC = ∠MCA;
∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180°;
∠MCA + ∠MAC + ∠MCA = 180°;
2∠MCA + ∠MAC = 180°;
2∠MCA = 180° — ∠MAC;
∠MCA = 72°;

4) В треугольнике ABC:
∠BAC = ∠BAM + ∠MAC;
∠BAC = ∠BAM + 180° — 2∠MCA;
∠A = ∠B + 180° — 2∠A;
∠B = 3∠A — 180°;
5∠A = 360°;
∠A = 72°;
∠B = 36°;
∠C = 72°;

Ответ:
∠A = 72°; ∠B = 36°; ∠C = 72°.

Дано:
∆ABC — равнобедренный (углы при основании равны), причём BM = AM = AC.

Найти:
∠A, ∠B, ∠C.

Решение:

1) Пусть ∠A = ∠C = x (так как ∆ABC равнобедренный с основанием BC). Тогда ∠B = 180° − 2x.

2) В треугольнике ABM имеем BM = AM, значит он равнобедренный с основанием AB, поэтому углы при основании равны: обозначим ∠BAM = ∠MBA = α. Тогда угол при вершине M этого треугольника равен ∠AMB = 180° − 2α.

3) В треугольнике AMC имеем AM = AC, значит он равнобедренный с основанием MC. Угол при C здесь равен углу ∠MCA, а так как M лежит на прямой BC, то ∠MCA совпадает с углом ∠BCA большого треугольника, то есть ∠MCA = x. Следовательно, второй угол при основании также равен x: ∠AMC = x. Тогда третий угол треугольника AMC равен ∠MAC = 180° − 2x.

4) Луч AM делит угол A большого треугольника на два угла: ∠BAC = ∠BAM + ∠MAC. Отсюда получаем связь α и x: x = α + (180° − 2x), то есть α = 3x − 180°.

5) Учитывая, что точки B, M, C лежат на одной прямой, сумма углов вокруг точки M даёт: ∠AMB + 180° + ∠CMA = 360°. Подставляя из п.2 и п.3, имеем (180° − 2α) + 180° + x = 360°, откуда x = 2α, то есть α = x/2.

6) Совмещая результаты п.4 и п.5, получаем уравнение x/2 = 3x − 180°, откуда 5x = 360° и x = 72°. Тогда ∠A = ∠C = 72°, а ∠B = 180° − 2·72° = 36°.

Ответ:
∠A = 72°, ∠B = 36°, ∠C = 72°.