ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 405 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что в любом треугольнике существует угол:
1) не меньше 60°;
2) не больше 60°.

1) Не меньше 60°:
∠a < 60°; ∠b < 60°; ∠c < 60°;
∠a + ∠b + ∠c < 60° + 60° + 60°;
∠a + ∠b + ∠c < 180°;
Что и требовалось доказать.

2) Не больше 60°:
∠a > 60°; ∠b > 60°; ∠c > 60°;
∠a + ∠b + ∠c > 60° + 60° + 60°;
∠a + ∠b + ∠c > 180°;
Что и требовалось доказать.

1) Не меньше 60°:
Пусть треугольник имеет углы ∠a, ∠b и ∠c. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, для углов треугольника выполняется равенство:
∠a + ∠b + ∠c = 180°.
Если все углы ∠a, ∠b и ∠c меньше 60°, то мы получим:
∠a < 60°, ∠b < 60°, ∠c < 60°.
Теперь сложим все эти неравенства:
∠a + ∠b + ∠c < 60° + 60° + 60° = 180°.
Но это противоречит тому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Следовательно, хотя бы один из углов в треугольнике обязательно должен быть не меньше 60°. Таким образом,
∠a + ∠b + ∠c < 180°;
Что и требовалось доказать.

2) Не больше 60°:
Пусть снова треугольник имеет углы ∠a, ∠b и ∠c. Сумма углов любого треугольника равна 180°. То есть:
∠a + ∠b + ∠c = 180°.
Предположим, что все углы треугольника больше 60°, то есть:
∠a > 60°, ∠b > 60°, ∠c > 60°.
Теперь сложим эти неравенства:
∠a + ∠b + ∠c > 60° + 60° + 60° = 180°.
Это также противоречит тому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Следовательно, хотя бы один из углов треугольника обязательно не может быть больше 60°. Таким образом,
∠a + ∠b + ∠c > 180°;
Что и требовалось доказать.