ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 406 Мерзляк — Подробные Ответы

Определите вид треугольника, если:
1) один из его углов больше суммы двух других;
2) любой из его углов меньше суммы двух других.

1) Один из его углов больше суммы двух других:
∠a > ∠b + ∠c, ∠a + ∠b + ∠c = 180°;
∠a + ∠a > 180°;
2∠a > 180°;
∠a > 90°;
Ответ: тупоугольный.

2) Любой из его углов меньше суммы двух других:
∠a < ∠b + ∠c, ∠b < ∠a + ∠c, ∠c < ∠a + ∠b;
∠a + ∠b + ∠c = 180°;
∠a < 180°, ∠b < 180°, ∠c < 180°;
2∠a < 180°, 2∠b < 180°, 2∠c < 180°;
∠a < 90°, ∠b < 90°, ∠c < 90°;
Ответ: остроугольный.

1) Один из его углов больше суммы двух других:
Пусть треугольник имеет углы ∠a, ∠b и ∠c. По условию задачи один из углов, например ∠a, больше суммы двух других углов. То есть:
∠a > ∠b + ∠c.
Теперь вспомним, что сумма углов любого треугольника равна 180°. То есть:
∠a + ∠b + ∠c = 180°.
Поскольку ∠a > ∠b + ∠c, то мы можем сложить неравенства:
∠a + ∠a > ∠b + ∠c + ∠a.
Получаем:
2∠a > 180°.
Следовательно:
∠a > 90°.
Это означает, что угол ∠a больше 90°, то есть треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный треугольник.

2) Любой из его углов меньше суммы двух других:
Теперь рассмотрим случай, когда любой угол треугольника меньше суммы двух других углов. То есть:
∠a < ∠b + ∠c, ∠b < ∠a + ∠c, ∠c < ∠a + ∠b.
Сложим эти неравенства:
∠a + ∠b + ∠c < (∠a + ∠b + ∠c) + (∠a + ∠b + ∠c).
Известно, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Следовательно, можно записать:
∠a + ∠b + ∠c = 180°.
Тогда, учитывая, что каждый угол меньше 180°, мы получаем:
∠a < 90°, ∠b < 90°, ∠c < 90°.
Это означает, что все углы в треугольнике меньше 90°, и, следовательно, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный треугольник.