ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 409 Мерзляк — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что ∠C > 90°. На стороне BC отметили произвольную точку D. Докажите, что AD > AC.

Дано:
∠C > 90°;

Докажите:
AD > AC;

Решение:

В треугольнике DAC:
∠ACD > 90°;
∠ADC < 90°;
∠ACD > ∠ADC;
AD > AC;
Что и требовалось доказать.

Дано:
∠C > 90°;
Треугольник ABC имеет угол ∠C, который тупой, то есть больше 90°.

Докажите:
AD > AC;

Решение:

1) Рассмотрим треугольник DAC:
Так как точка D лежит на продолжении стороны BC, то угол ∠ACD в треугольнике DAC является тупым, так как ∠C > 90° и угол ∠ACD вместе с углом ∠C составляют 180°. Следовательно, угол ∠ACD больше 90°:
∠ACD > 90°.
Теперь, так как угол ∠ACD > 90°, то угол ∠ADC, как угол, прилежащий к тупому углу, должен быть острым, то есть меньше 90°:
∠ADC < 90°.
Таким образом, угол ∠ACD > ∠ADC.

2) Применение теоремы о сторонах треугольника:
В треугольнике, где один угол больше другого, сторона, противоположная большему углу, всегда больше. В данном случае угол ∠ACD > ∠ADC, следовательно, сторона, противоположная большему углу, то есть AD, будет больше стороны, противоположной меньшему углу, то есть AC. Таким образом, мы получаем неравенство:
AD > AC.
Что и требовалось доказать.