ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 410 Мерзляк — Подробные Ответы

Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?

1) Пусть дан треугольник ABC:
AE — биссектриса ∠BAC;
CF — биссектриса ∠BCA;
∠AOC = 90°;

2) В треугольнике AOC:
∠OAC + ∠AOC + ∠OCA = 180°;
∠OAC + 90° + ∠OCA = 180°;
∠OAC + ∠OCA = 90°;

3) В треугольнике ABC:
∠BAC = 2∠OAC, ∠BCA = 2∠OCA;
∠BAC + ∠BCA = 2(∠OAC + ∠OCA) = 180°;
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°;
180° + ∠ABC = 180°;
∠ABC = 0°;

Ответ:
нет.

1) Пусть дан треугольник ABC:
Обозначим две биссектрисы: AE — биссектриса угла ∠BAC и CF — биссектриса угла ∠BCA. Также известно, что угол ∠AOC между этими биссектрисами равен 90°.
Таким образом, у нас есть треугольник ABC, где две биссектрисы перпендикулярны между собой.

2) В треугольнике AOC:
Рассмотрим треугольник AOC. В нем сумма всех углов должна быть равна 180°, то есть:
∠OAC + ∠AOC + ∠OCA = 180°.
Мы знаем, что ∠AOC = 90°, следовательно, у нас получается следующее уравнение:
∠OAC + 90° + ∠OCA = 180°.
Из этого уравнения можем выразить сумму углов ∠OAC и ∠OCA:
∠OAC + ∠OCA = 90°.
Таким образом, сумма углов ∠OAC и ∠OCA в треугольнике AOC равна 90°.

3) В треугольнике ABC:
Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором углы ∠BAC и ∠BCA связаны с углами ∠OAC и ∠OCA. Так как AE и CF — биссектрисы, то они делят углы пополам, то есть:
∠BAC = 2∠OAC и ∠BCA = 2∠OCA.
Теперь сложим углы ∠BAC и ∠BCA:
∠BAC + ∠BCA = 2(∠OAC + ∠OCA) = 180°.
Это уравнение говорит нам, что сумма углов ∠BAC и ∠BCA в треугольнике ABC равна 180°.
Но также известно, что сумма всех углов в треугольнике ABC равна 180°, то есть:
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
Подставим ранее найденную сумму углов ∠BAC и ∠BCA:
180° + ∠ABC = 180°.
Из этого уравнения мы получаем, что:
∠ABC = 0°.

Ответ:
Поскольку угол ∠ABC равен 0°, это невозможно в реальном треугольнике, так как угол не может быть равен нулю. Следовательно, треугольник с двумя перпендикулярными биссектрисами не существует.