ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 411 Мерзляк — Подробные Ответы

Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит пополам другую биссектрису?

1) Пусть дан треугольник ABC:
AE — биссектриса ∠BAC;
CF — биссектриса ∠BCA;
CO = OF;

2) Рассмотрим треугольник FAC:
AO — биссектриса и медиана;
ΔFAC — равнобедренный;
AO — медиана и высота;
∠AOC = 90°;

3) В треугольнике AOC:
∠OAC + ∠AOC + ∠OCA = 180°;
∠OAC + 90° + ∠OCA = 180°;
∠OAC + ∠OCA = 90°;

4) В треугольнике ABC:
∠BAC = 2∠OAC, ∠BCA = 2∠OCA;
∠BAC + ∠BCA = 2(∠OAC + ∠OCA) = 180°;
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°;
180° + ∠ABC = 180°;
∠ABC = 0°;

Ответ:
нет.

1) Пусть дан треугольник ABC:
Обозначим AE как биссектрису угла ∠BAC и CF как биссектрису угла ∠BCA. Пусть также CO = OF, то есть точка O является серединой отрезка CF и лежит на биссектрисе ∠BCA. Мы предполагаем, что одна биссектриса делит пополам другую. Нам нужно проверить, возможно ли существование такого треугольника с такими свойствами.

2) Рассмотрим треугольник FAC:
В данном треугольнике AO является как биссектрисой, так и медианой. Треугольник ΔFAC равнобедренный, так как AO и AC — равные отрезки. Кроме того, AO — медиана и высота, так как она делит угол ∠BAC пополам, а также перпендикулярна основанию FC. Это значит, что ∠AOC = 90°.

3) В треугольнике AOC:
Теперь рассмотрим треугольник AOC, в котором мы знаем, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Для треугольника AOC имеем следующее уравнение для суммы углов:
∠OAC + ∠AOC + ∠OCA = 180°.
Так как ∠AOC = 90°, подставим это в уравнение:
∠OAC + 90° + ∠OCA = 180°.
Из этого получаем:
∠OAC + ∠OCA = 90°.
Таким образом, сумма углов ∠OAC и ∠OCA в треугольнике AOC равна 90°.

4) В треугольнике ABC:
Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором углы ∠BAC и ∠BCA связаны с углами ∠OAC и ∠OCA, так как биссектрисы делят углы пополам. Следовательно, углы ∠BAC и ∠BCA можно выразить через углы ∠OAC и ∠OCA:
∠BAC = 2∠OAC, ∠BCA = 2∠OCA.
Теперь сложим углы ∠BAC и ∠BCA:
∠BAC + ∠BCA = 2(∠OAC + ∠OCA) = 180°.
Это уравнение говорит нам, что сумма углов ∠BAC и ∠BCA в треугольнике ABC равна 180°. Однако, также известно, что сумма всех углов в треугольнике ABC равна 180°, то есть:
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
Подставим найденную сумму углов ∠BAC и ∠BCA:
180° + ∠ABC = 180°.
Из этого уравнения мы получаем, что:
∠ABC = 0°.

Ответ:
Поскольку угол ∠ABC равен 0°, это невозможно в реальном треугольнике, так как угол не может быть равен нулю. Следовательно, такой треугольник с двумя биссектрисами, где одна делит пополам другую, не существует.