ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 412 Мерзляк — Подробные Ответы

Найдите углы треугольника ABC, если биссектрисса угла B разбивает его на два равнобедренных треугольника.

1) Пусть дан треугольник ABC:
BD — биссектриса ∠ABC;
∠ABD = ∠CBD;

2) Если AD = BD и CD = BD, тогда:
∠BAD = ∠ABD, ∠BCD = ∠CBD;
∠BAD = ∠ABD = ∠BCD = ∠CBD;
∠ABC = 2∠ABD = 2∠CBD;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠C + 2∠C + 2∠C = 180°;
4∠C = 180°;
∠A = ∠C = 45°;
∠B = 2 * 45° = 90°;

3) Если AB = BD и CD = BD, тогда:
∠BAD = ∠BDA, ∠BCD = ∠CBD;
∠CDB + ∠CBD + ∠CBD = 180°;
∠CDB = 180° — 2∠CBD;
∠BDA + ∠CDB = 180°;
∠BAD + 180° — 2∠CBD = 180°;
∠BAD = 2∠CBD, ∠ABC = 2∠BCD;
∠BAD = ∠ABC, ∠BCD = 1/2 ∠ABC;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B + ∠B + 1/2 ∠B = 180°;
5/2 ∠B = 180°;
∠A = ∠B = 72°;
∠C = 1/2 * 72° = 36°;

Ответ:
45°, 45°, 90° или 72°, 72°, 36°.

1) Пусть дан треугольник ABC:
Обозначим биссектриссу угла ∠ABC как BD. Это означает, что BD делит угол ∠ABC пополам. Также известно, что в треугольнике с биссектриссой угла, которая делит его на два равнобедренных треугольника, два угла у основания равны между собой. Таким образом, мы можем записать следующее:
∠ABD = ∠CBD.

2) Если AD = BD и CD = BD, тогда:
Предположим, что отрезки AD и BD равны, а также CD и BD равны. Это означает, что в треугольнике ABD и треугольнике BCD образуются равнобедренные треугольники, где основание BD является общей стороной. Так как треугольники равнобедренные, то углы у основания равны, то есть:
∠BAD = ∠ABD, ∠BCD = ∠CBD.
Поскольку ∠BAD = ∠ABD = ∠BCD = ∠CBD, то угол ∠ABC равен двойному углу ∠ABD или ∠CBD:
∠ABC = 2∠ABD = 2∠CBD;
Теперь, зная, что сумма всех углов треугольника равна 180°, можем записать для треугольника ABC следующее уравнение:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
Поскольку ∠ABC = 2∠CBD, подставим это в уравнение:
∠A + 2∠CBD + ∠C = 180°.
Теперь, учитывая, что углы ∠A и ∠C являются углами, образующими треугольник с ∠B, у нас получаются следующие углы:
∠A = ∠C = 45°, так как каждый угол равен половине угла, на который делится биссектрисой угол B.
Следовательно, ∠B = 90°, так как угол ∠B составляет 180° — (∠A + ∠C) = 90°.

3) Если AB = BD и CD = BD, тогда:
Предположим, что отрезки AB и BD равны, а также CD и BD равны. Это создаёт два равнобедренных треугольника, в которых углы при основании равны. В таком случае, как и ранее, можно записать следующее:
∠BAD = ∠BDA, ∠BCD = ∠CBD.
Теперь из условия задачи, что биссектрисса BD делит угол ∠ABC пополам, следует, что углы ∠CDB и ∠CBD тоже равны, и мы можем записать следующее уравнение для углов треугольника ABC:
∠CDB + ∠CBD + ∠CBD = 180°;
∠CDB = 180° — 2∠CBD;
Теперь рассмотрим углы в треугольнике ABD. Сумма углов треугольника должна равняться 180°:
∠BAD + 180° — 2∠CBD = 180°;
Таким образом, мы получаем, что:
∠BAD = 2∠CBD, ∠ABC = 2∠BCD.
Сложив углы ∠BAD и ∠BCD, получаем:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
Переходя к углам, получаем:
∠A = 72°, ∠B = 72°, ∠C = 36°.

Ответ:
45°, 45°, 90° или 72°, 72°, 36°.