ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 413 Мерзляк — Подробные Ответы

Три точки A, B и C таковы, что выполняется равенство AB = AC + CB. Докажите, что точка C является внутренней точкой отрезка AB.

Дано:
AB = AC + CB;

Докажите:
C ∈ AB;

Решение:

1) Точка C не лежит на прямой AB:
Треугольник ABC;
AC + CB > AB;

2) Точка C лежит на прямой AB:
AC + CB = AB;
C ∈ AB;

Что и требовалось доказать.

Дано:
AB = AC + CB;

Докажите:
C ∈ AB (точка C лежит на отрезке AB);

Решение:

1) Точка C не лежит на прямой AB:
Предположим, что точка C не лежит на прямой AB, то есть она лежит за пределами отрезка AB. В этом случае расстояние от точки C до точки A (отрезок AC) и расстояние от точки C до точки B (отрезок CB) вместе должны быть больше расстояния от точки A до точки B (отрезок AB). То есть должно выполняться неравенство:
AC + CB > AB.
Однако, по данному условию задачи, AB = AC + CB, что противоречит неравенству AC + CB > AB.
Следовательно, предположение, что точка C не лежит на прямой AB, неверно. Это означает, что точка C должна лежать на прямой AB.

2) Точка C лежит на прямой AB:
Если точка C лежит на прямой AB, то, по определению, она является внутренней точкой отрезка AB, и расстояние от A до C плюс расстояние от C до B будет равно расстоянию от A до B. То есть выполняется равенство:
AC + CB = AB;
Таким образом, точка C является внутренней точкой отрезка AB.

Что и требовалось доказать.