ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 414 Мерзляк — Подробные Ответы

На прямой m (рис. 255) найдите такую точку C, чтобы сумма расстояний от нее до точек A и B была наименьшей. Ответ обоснуйте.

1) Точка C не лежит на прямой AB:
Треугольник ABC;
AC + CB > AB;

2) Точка C лежит на прямой AB:
AC + CB = AB;

Ответ:
пересечение прямых AB и m.

1) Точка C не лежит на прямой AB:
Предположим, что точка C не лежит на прямой AB. В этом случае, для нахождения точки, минимизирующей сумму расстояний от C до точек A и B, мы должны рассмотреть треугольник ABC. В нем сумма расстояний от точки C до точек A и B будет больше расстояния между точками A и B. Это объясняется тем, что если точка C находится не на прямой AB, то прямые отрезки AC и BC будут длиннее, чем прямая линия AB, и, следовательно, их сумма будет больше.
Таким образом, выполняется неравенство:
AC + CB > AB.
Это означает, что точка C, не лежащая на прямой AB, не может быть точкой, минимизирующей сумму расстояний от нее до точек A и B.

2) Точка C лежит на прямой AB:
Теперь рассмотрим случай, когда точка C лежит на прямой AB. В этом случае, точка C является точкой на отрезке AB, и сумма расстояний от точки C до точек A и B просто равна длине отрезка AB. Это оптимальный случай, так как прямая линия между двумя точками является кратчайшим расстоянием между ними.
Таким образом, мы получаем, что сумма расстояний AC + CB будет минимальной, когда точка C лежит на прямой AB, и в этом случае выполняется равенство:
AC + CB = AB.

Ответ:
пересечение прямых AB и m — точка, минимизирующая сумму расстояний от C до A и B, находится на прямой AB.