ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 416 Мерзляк — Подробные Ответы
В треугольнике ABC известно, что ∠A = α, биссектрисы внешних углов при вершинах B и C пересекаются в точке O. Найдите угол ∠BOC.
Дано:
CO — биссектрисса ∠ECB;
BO — биссектрисса ∠DCB;
∠A = α;
Найти:
∠BOC;
Решение:
1) В треугольнике ABC:
Сумма углов треугольника ABC равна 180°:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
∠B + ∠C = 180° — ∠A;
∠B + ∠C = 180° — α;
2) В треугольнике BOC:
∠COB + ∠BOC = 180°;
1/2 ∠ECB + 1/2 ∠DBC = 180°;
(∠ECB + ∠DBC) / 2 = 180°;
∠B + ∠C + ∠B + ∠C = 360°;
∠B + ∠C + 2 ∠BOC = 360°;
2a + 180° — α + 2∠BOC = 360°;
∠BOC = 1/2 (180° — α);
Ответ:
∠BOC = 90° — α / 2.
Дано:
CO — биссектрисса ∠ECB;
BO — биссектрисса ∠DCB;
∠A = α;
Найти:
∠BOC;
Решение:
1) В треугольнике ABC:
Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Для треугольника ABC это выражается так:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Поскольку угол ∠A равен α, то можем записать:
α + ∠B + ∠C = 180°;
Следовательно, угол ∠B + ∠C будет равен:
∠B + ∠C = 180° — α.
Таким образом, мы выразили сумму углов ∠B и ∠C через α.
2) В треугольнике BOC:
Теперь рассмотрим треугольник BOC, в котором пересекаются биссектрисы внешних углов при вершинах B и C. Мы знаем, что каждая биссектрисса делит соответствующий угол пополам, и в треугольнике BOC угол ∠COB равен половине угла ∠ECB, а угол ∠BOC равен половине угла ∠DBC. Таким образом, мы имеем следующее выражение для углов треугольника BOC:
∠COB + ∠BOC = 180°;
Поскольку ∠COB = 1/2 ∠ECB и ∠BOC = 1/2 ∠DBC, подставим это в уравнение:
1/2 ∠ECB + 1/2 ∠DBC = 180°;
Теперь выражение для углов ∠ECB и ∠DBC в треугольнике ABC будет следующим, так как сумма углов ∠B и ∠C дает 180° — α:
(∠B + ∠C) / 2 = 180°;
Теперь подставляем результат из пункта 1:
(180° — α) / 2 = 180°;
Таким образом, мы получаем, что сумма углов ∠B и ∠C в треугольнике BOC связана с углом α.
3) Подставим в формулу для угла BOC:
Теперь, из вышеуказанного уравнения, мы видим, что:
2a + 180° — α + 2∠BOC = 360°;
Из этого уравнения мы получаем угловое значение для ∠BOC:
∠BOC = 1/2 (180° — α);
Это и есть ответ на задачу.
Ответ:
∠BOC = 90° — α / 2.
