ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 417 Мерзляк — Подробные Ответы

Отрезок AM — медиана треугольника ABC, ∠CAM > ∠BAM. Докажите, что AB > AC.

Дано:
AM — медиана;
∠CAM > ∠BAM;

Докажите:
AB > AC;

Решение:

1) На прямой AM отметим точку D:
MD = AM;

2) Рассмотрим треугольники BMD и CMA:
∠BMD = ∠CMA — вертикальные;
ΔBMD = ΔCMA — по первому признаку;
BD = AC, ∠BDM = ∠CAM;

3) В треугольнике ABD:
∠BDM > ∠BAM;
AB > BD = AC;
Что и требовалось доказать.

Дано:
AM — медиана треугольника ABC;
∠CAM > ∠BAM;
Необходимо доказать, что AB > AC.

Решение:

1) На прямой AM отметим точку D:
Пусть на отрезке AM отмечена точка D, такая что отрезок MD равен отрезку AM. То есть:
MD = AM.
Это сделано для того, чтобы использовать свойства равных отрезков в дальнейших рассуждениях.

2) Рассмотрим треугольники BMD и CMA:
Теперь рассмотрим два треугольника: BMD и CMA.
— Углы ∠BMD и ∠CMA — вертикальные углы, а значит, они равны:
∠BMD = ∠CMA.
— Эти треугольники равны по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними):
ΔBMD = ΔCMA.
Так как AM — медиана треугольника ABC, то отрезки BD и AC равны:
BD = AC.
Кроме того, углы ∠BDM и ∠CAM также равны, так как они соответствуют углам, образованным одинаковыми отрезками медианы.
Таким образом, мы имеем: ∠BDM = ∠CAM.

3) В треугольнике ABD:
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Так как мы уже доказали, что углы ∠BDM и ∠BAM связаны неравенством ∠BDM > ∠BAM (поскольку ∠CAM > ∠BAM по условию), это дает нам важное наблюдение: угол ∠BDM больше угла ∠BAM, что делает сторону AB больше стороны BD.
Так как BD = AC по ранее сделанному выводу, то получаем, что сторона AB больше стороны AC. Таким образом, мы доказали, что:
AB > AC.

Ответ:
AB > AC.