ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 418 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки E и F так, что AC = AF = EF = BE. Найдите углы треугольника ABC.

Краткий ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AC = AF = EF = BE;

Найти:
∠A; ∠B; ∠C;

Решение:

1) ΔABC — равнобедренный:
∠ACB = ∠ABC = x;

2) В треугольнике ACF:
∠ACF = ∠AFC = x;
∠FAC + ∠LFA + ∠LFC = 180°;
x + x + x = 180°;
∠FAC = 180° — 2x;

3) В треугольнике EFA:
∠EAF = ∠BAC = 2x;
∠EAF = x + 2x = 3x;
∠EAF = 3x — 180°;
∠EAF = 540° — 6x;

4) В треугольнике EBF:
∠EFB = 180° — ∠EFA — ∠AFC;
∠EFB = 180° — 540° + 6x — x;
∠EFB = 5x — 360°;
∠EFB = ∠EFB = 5x;

5) В треугольнике ABC:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
x + 5x + 360° + x = 180°;
7x = 540°;
x = (540° / 7);
∠A = x = (540° / 7);
∠B = (180° / 7);
∠C = (540° / 7);

Ответ:
∠A = (540° / 7); ∠B = (180° / 7); ∠C = (540° / 7);

Подробный ответ:

Дано:
ΔABC — равнобедренный;
AC = AF = EF = BE;

Найти:
∠A; ∠B; ∠C;

Решение:

1) ΔABC — равнобедренный:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть:
∠ACB = ∠ABC = x, где x — угол при вершине B. Мы пока не знаем точного значения углов, но установили, что углы при основании равны. Это важно для дальнейших вычислений.

2) Рассмотрим треугольник ACF:
В треугольнике ACF, где AC = AF, углы при основании также равны, то есть:
∠ACF = ∠AFC = x.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°, следовательно, можем записать уравнение для суммы углов в треугольнике ACF:
∠FAC + ∠ACF + ∠AFC = 180°.
Поскольку ∠ACF = ∠AFC = x, подставим это в уравнение:
∠FAC + x + x = 180°;
2x + ∠FAC = 180°;
Таким образом, угол ∠FAC равен:
∠FAC = 180° — 2x.

3) Рассмотрим треугольник EFA:
Точка E лежит на прямой AE, и отрезки AC = AF = EF = BE. Рассмотрим углы в треугольнике EFA. Так как ∠BAC = 2x, то угол ∠EAF, как угол, образованный биссектрисой, равен углу при вершине A, то есть:
∠EAF = ∠BAC = 2x.
Теперь, так как ∠EAF является углом в треугольнике EFA, то:
∠EAF = x + 2x = 3x.
Таким образом, угол ∠EAF в треугольнике EFA равен 3x.

4) Рассмотрим треугольник EBF:
В треугольнике EBF угол ∠EFB является внешним углом, который равен сумме двух внутренних углов треугольника:
∠EFB = 180° — ∠EFA — ∠AFC.
Теперь подставим значения для углов ∠EFA и ∠AFC, чтобы найти угол ∠EFB:
∠EFB = 180° — 540° + 6x — x;
∠EFB = 5x — 360°;
Таким образом, угол ∠EFB равен 5x.

5) Рассмотрим треугольник ABC:
Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором сумма всех углов равна 180°. Мы можем выразить эту сумму следующим образом:
∠A + ∠B + ∠C = 180°;
Поскольку ∠B = ∠C, то у нас получается:
x + 5x + 360° + x = 180°;
Таким образом, находим, что 7x = 540°.
Отсюда:
x = 540° / 7 = 2700° / 7.
Следовательно,
∠A = x = 540° / 7;
∠B = 180° / 7;
∠C = 540° / 7;

Ответ:
∠A = 540° / 7; ∠B = 180° / 7; ∠C = 540° / 7.

Оцени решение