ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 420 Мерзляк — Подробные Ответы

Докажите, что сумма длин двух сторон треугольника больше удвоенной длины медианы, проведенной к третьей стороне.

Дано:
CM — медиана;

Докажите:
AC + BC > 2CM;

Решение:

1) На прямой CM отметим точку D:
MD = CM;

2) Рассмотрим треугольники AMD и BMC:
∠AMD = ∠BMC — вертикальные;
ΔAMD = ΔBMC — по первому признаку;
AD = BC;

3) В треугольнике DAC:
AD + AC > DC;
BC + AC > CM + MD;
AC + BC > 2CM;

Что и требовалось доказать.

Дано:
CM — медиана треугольника.

Докажите:
AC + BC > 2CM;

Решение:

1) На прямой CM отметим точку D:
На медиане CM отметим точку D, такую, что отрезок MD равен отрезку CM. То есть:
MD = CM;
Это сделано для удобства дальнейших вычислений. Мы получаем, что точка D лежит на прямой CM, и медиана разбивается на два отрезка, равные по длине.

2) Рассмотрим треугольники AMD и BMC:
Теперь рассмотрим два треугольника: AMD и BMC. Эти треугольники являются сопряженными по вертикальным углам, так как угол ∠AMD равен углу ∠BMC. Следовательно, треугольники AMD и BMC являются равными по первому признаку равенства треугольников (по двум равным сторонам и углу между ними):
ΔAMD = ΔBMC.
Это означает, что отрезки AD и BC равны между собой. То есть:
AD = BC.

3) В треугольнике DAC:
Теперь рассмотрим треугольник DAC. Из предыдущего шага мы знаем, что AD = BC, поэтому в треугольнике DAC выполняется следующее неравенство для суммы сторон:
AD + AC > DC;
Так как D лежит на медиане, и отрезки MD и CM равны, то мы можем записать следующее неравенство для сторон треугольников:
BC + AC > CM + MD;
Подставим значения для MD и CM:
AC + BC > 2CM;

Что и требовалось доказать.