ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 422 Мерзляк — Подробные Ответы

На медиане BM треугольника ABC отметили точку O так, что ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Дано:
BM — медиана;
∠OAC = ∠OCA;

Докажите:
ΔABC — равнобедренный.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник AOC:
∠OAC = ∠OCA;
ΔOAC — равнобедренный;
OM — медиана и высота;
OM ⊥ AC;

2) Рассмотрим треугольник ABC:
BM ⊥ AC;
BM — медиана и высота;
ΔABC — равнобедренный;

Что и требовалось доказать.

Дано:
BM — медиана треугольника ABC;
∠OAC = ∠OCA;

Докажите:
ΔABC — равнобедренный.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник AOC:
Так как ∠OAC = ∠OCA по условию задачи, то треугольник AOC является равнобедренным, где стороны OA и OC равны между собой. Это основано на том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:
ΔOAC — равнобедренный, и мы имеем равенство сторон:
OA = OC.
Также из геометрии известно, что медиана, проведенная в равнобедренном треугольнике, одновременно является его высотой. То есть:
OM — медиана и высота в треугольнике AOC;
OM ⊥ AC — медиана перпендикулярна основанию AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC:
Теперь рассмотрим треугольник ABC, в котором BM является медианой. Мы знаем, что медиана, проведенная из вершины в треугольнике, делит его на два треугольника с одинаковыми площадями. В данном случае, из-за того что OM является и медианой, и высотой для треугольника AOC, это делает треугольник ABC равнобедренным.
BM — медиана и высота в треугольнике ABC, что также подтверждает равенство сторон AB и AC, так как высота медианы в равнобедренном треугольнике всегда будет делить треугольник на два одинаковых по площади треугольника, что подтверждает равенство этих двух сторон.
Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.