ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 433 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a, опущены перпендикуляры AM и BK на эту прямую, AM = BK. Докажите, что AK = BM.

Краткий ответ:

Дано:
AM ⊥ a;
BK ⊥ a;
AM = BK;Доказать:
AK = BM;

Решение:
Рассмотрим треугольники AMK и BKM:
MK — общая сторона;
ΔAMK = ΔBKM — по двум катетам;
AK = BM;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Рассмотрим чертёж

Пусть M и K — основания перпендикуляров из точек A и B соответственно на прямую a.
Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a.

Анализ треугольников

1) Рассмотрим треугольники AMK и BKM:

В каждом из этих треугольников одна вершина — на прямой a (M или K), а две другие — вне прямой (A или B).

2) Докажем равенство треугольников AMK и BKM:

AM = BK по условию.
MK — общая сторона для обоих треугольников.
Углы при основаниях M и K равны 90° (AM ⊥ a и BK ⊥ a), то есть оба треугольника прямоугольные.

3) Применяем признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе:

В треугольниках AMK и BKM:
Катеты: AM = BK (по условию).
Гипотенуза: MK — общая.
Следовательно, ΔAMK = ΔBKM (по катету и гипотенузе).

4) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Значит, AK = BM.

Ответ

AK = BM. Что и требовалось доказать.

Оцени решение