ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 434 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

На рисунке 264 AB = CD, AB ∥ CD, BM ⊥ AC, DK ⊥ AC.
Докажите, что BM = DK.

Краткий ответ:

Дано:
AB = CD;
AB ∥ CD;
BM ⊥ AC;
DK ⊥ AC;

Доказать:
BM = DK;

Решение:
1) Для прямых AB и CD и секущей AC:
∠BAC = ∠DCA;
2) Рассмотрим треугольники AMB и CKD:
∠BAM = ∠DCK;
ΔAMB = ΔCKD — по гипотенузе и углу;
BM = DK;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:
AB = CD;
AB ∥ CD;
BM ⊥ AC;
DK ⊥ AC;

Доказать:
BM = DK;

Решение:
Пусть точки M и K — основания перпендикуляров из точек B и D соответственно на прямую AC. По условию, отрезки AB и CD равны, а также параллельны между собой. Прямые BM и DK перпендикулярны AC.

Рассмотрим треугольники AMB и CKD. В каждом из этих треугольников один из катетов (AM и CK) лежит на прямой AC, а другой катет (BM и DK) перпендикулярен этой прямой.

Поскольку AB ∥ CD и AB = CD, а AC — секущая для этих параллельных отрезков, то углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей:
∠BAC = ∠DCA.

Теперь рассмотрим треугольники AMB и CKD. В этих треугольниках:
— гипотенузы AB и CD равны по условию;
— углы BAM и DCK равны, так как они равны соответствующим углам BAC и DCA;
— углы при вершинах M и K прямые, так как BM ⊥ AC и DK ⊥ AC.

Значит, треугольники AMB и CKD равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов, а значит:
BM = DK.
Что и требовалось доказать.

Оцени решение