ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 436 Мерзляк — Подробные фОтветы

Задача

На биссектрисе угла с вершиной в точке В отметили точку М, из которой опустили перпендикуляры MD и MC на стороны угла. Докажите, что MD = MC.

Краткий ответ:

Дано:
BM — биссектриса ∠CBD;
MD ⟂ BD;
MC ⟂ BC;

Доказать:
MD = MC;

Решение:
Рассмотрим треугольники MDB и MCB:
∠MBD = ∠MBC;
BM — общая сторона;
ΔMDB = ΔMCB — по гипотенузе и острому углу;
MD = MC;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

BM — биссектриса угла ∠CBD с вершиной в точке B;
M — точка на биссектрисе BM;
Из точки M опущены перпендикуляры MD на сторону BD и MC на сторону BC.

Доказать:
MD = MC

Решение:

Рассмотрим треугольники MDB и MCB.
В каждом из них:
— MD и MC — высоты, опущенные из точки M на стороны угла.
— BM — общая сторона (это биссектриса).
Углы при вершине B:
— По определению биссектрисы, луч BM делит угол CBD пополам, то есть
∠MB D = ∠MB C
Оба треугольника прямоугольные:
— В треугольнике MDB угол MD B прямой, так как MD ⟂ BD.
— В треугольнике MCB угол MC B прямой, так как MC ⟂ BC.
Применим признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:
— В обоих треугольниках гипотенуза — BM (общая сторона).
— Один из острых углов равен: ∠MBD = ∠MBC (по свойству биссектрисы).
— Следовательно, △MDB = △MCB (по гипотенузе и острому углу).
Из равенства треугольников следует равенство соответственных катетов:
— MD = MC

Что и требовалось доказать.

Оцени решение