ГДЗ по Геометрии 7 Класс Глава 3 Номер 438 Мерзляк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Краткий ответ:

Дано:

ΔABC — равнобедренный;
AE — высота;
CD — высота;

Доказать:
AE = CD;

Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный:
∠BAC = ∠BCA;
2) Рассмотрим треугольники AEC и CDA:
∠DAC = ∠ECA;
AC — общая сторона;
ΔAEC = ΔCDA — по гипотенузе и углу;
AE = CD;
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано:

ΔABC — равнобедренный треугольник (AB = AC);
AE — высота, проведённая из вершины A к стороне BC;
CD — высота, проведённая из вершины C к стороне AB.

Доказать: AE = CD.

Решение:
1) Пусть в треугольнике ABC AB = AC.

2) Проведём высоты AE и CD:
— AE — высота из вершины A к стороне BC;
— CD — высота из вершины C к стороне AB.

3) Рассмотрим треугольники ABE и CDB:
— В них AB = AC (по условию);
— Угол при основании B равен углу при основании C (в равнобедренном треугольнике углы при основании равны);
— BE = DB, так как высоты делят основание на равные части вследствие симметрии.

4) Треугольники ABE и CDB равны по двум сторонам и углу между ними (AB = AC, BE = DB, угол B = угол C).

5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих высот:
AE = CD.

Ответ: Высоты, проведённые из вершины к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Оцени решение